Question

【題目】如圖，在扇形AOB中，OA、OB是半徑，且OA＝4，∠AOB＝120°．點(diǎn)P是弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP、BP，分別作OC⊥PA，OD⊥PB，垂足分別為C、D，連接CD．

（1）如圖①，在點(diǎn)P的移動(dòng)過(guò)程中，線段CD的長(zhǎng)是否會(huì)發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，請(qǐng)求出線段CD的長(zhǎng)；若會(huì)發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）如圖②，若點(diǎn)M、N為的三等分點(diǎn)，點(diǎn)I為△DOC的外心．當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)I所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為__________．（直接寫(xiě)出結(jié)果）

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】試題分析:(1)先連接AB,因?yàn)?/span>CD是△PAB的中位線,所以CD=因?yàn)?/span>AB長(zhǎng)度不變,即CD長(zhǎng)度不變,根據(jù)OA＝4,∠AOB＝120°,利用解直角三角形的方法求出AB,再根據(jù)中位線的性質(zhì)即可求出CD,

(2)因?yàn)?/span>CD是△PAB的中位線,根據(jù)中位線的性質(zhì)CD∥AB,因?yàn)辄c(diǎn)I是△DOC的外心,所以點(diǎn)I在CD的垂直平分線上,然后求出點(diǎn)I運(yùn)動(dòng)路線是以O為圓心,OI為半徑,圓心角60°所對(duì)的弧長(zhǎng),利用弧長(zhǎng)公式求解.

試題解析:∵OA＝OB,OH⊥AB,

∴AH＝BH＝AB,∠AOH＝∠AOB＝60°,

在Rt△AOH中,

∵∠OAH＝30°,

∴OH＝＝2,

∴在Rt△AOH,由勾股定理得AH＝＝,

∴AB＝,

∴CD＝,

（2）.