Question

已知實數(shù)a，b，c滿足abc=-1，a+b+c=4，，則a²+b²+c²=________．

Answer 1

分析：把a²-3a-1變形后，將abc=-1，a+b+c=4代入得到結(jié)果為a（b-1）（c-1），同理將已知等式的第二、三個分母變形，將已知等式左邊通分并利用同分母分式的加法法則計算，整理后將abc=-1，a+b+c=4代入求出ab+ac+bc的值，將所求的式子利用公式（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc變形后，將a+b+c及ab+ac+bc的值代入即可求出值．
解答：∵abc=-1，a+b+c=4，
∴a²-3a-1=a²-3a+abc=a（bc+a-3）=a（bc-b-c+1）=a（b-1）（c-1），
∴=，
同理可得：=，=，
又++=，
∴++=，
∴=，即（a-1）（b-1）（c-1）=（a-1）+（b-1）+（c-1），
整理得：（abc-ab-ac-bc+a+b+c-1）=a+b+c-3，
將abc=-1，a+b+c=4代入得：ab+bc+ac=-，
則a²+b²+c²=（a+b+c）²-2（ab+bc+ac）=．
故答案為：．
點評：此題考查了分式的混合運算，利用了整體代入的數(shù)學思想，其技巧性較強，其中把已知等式的各分母進行適當?shù)淖冃问墙獗绢}的關鍵．