Question

同學們，我們曾經研究過n×n的正方形網格，得到了網格中正方形的總數的表達式為1²+2²+3²+…+n²．但n為100時，應如何計算正方形的具體個數呢？下面我們就一起來探究并解決這個問題．首先，通過探究我們已經知道0×1+1×2+2×3+…+（n-l）×n
=

1

3

n（n+l）（n-l）時，我們可以這樣做：
（1）觀察并猜想：
1²+2²=（1+0）×1+（1+1）×2=l+0×1+2+1×2=（1+2）+（0×1+1×2）
1²+2²+3²=（1+0）×1+（1+1）×2+（l+2）×3
=1+0×1+2+1×2+3+2×3
=（1+2+3）+（0×1+1×2+2×3）
1²+2²+3²+4²=（1+0）×1+（1+1）×2+（l+2）×3+

 

=1+0×1+2+1×2+3+2×3+

 

=（1+2+3+4）+（

 

）
…
（2）歸納結論：
1²+2²+3²+…+n²=（1+0）×1+（1+1）×2+（1+2）×3+…[1+（n-l）]n
=1+0×1+2+1×2+3+2×3+…+n+（n-1）×n
=（

 

）+[

 

]
=

 

+

 

=

1

6

×

 

（3 ）實踐應用：
通過以上探究過程，我們就可以算出當n為100時，正方形網格中正方形的總個數是

 

．

Answer 1

分析：根據（1）所得的結論，即可寫出（1）（2）的結論；
（3）直接代入（2）的結論，計算即可．

解答：解：（1）觀察并猜想：（1+3）×4；4+3×4；0×1+1×2+2×3+3×4；

（2）歸納結論：1+2+3+…+n；0×1+1×2+2×3+…+（n-1）n；

1

2

n（n+1）；

1

3

n（n+1）（n-1）；n（n+1）（2n+1）；

（3）實踐應用：當n=100時，

1

6

×100×（100+1）（200+1）=338350．

點評：本題主要考查了整數的計算，正確觀察已知條件，得到結論是解題的關鍵．