Question

【題目】如圖1，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，過O點(diǎn)作射線OC，使∠AOC:∠BOC=1:2，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線的下方.

（1）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，使得ON落在射線OB上，此時(shí)三角板旋轉(zhuǎn)的角度為____________度；

（2）在上述直角三角板從圖1逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖3的位置的過程中，若三角板繞點(diǎn)O按15°每秒的速度旋轉(zhuǎn)，當(dāng)直角三角板的直角邊ON所在直線恰好平分∠AOC時(shí)，求此時(shí)三角板繞點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值.

（3）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O按每秒10°的速度沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周.在旋轉(zhuǎn)的過程中，假如第t秒時(shí)，OA、OC、ON三條射線構(gòu)成相等的角，求此時(shí)t的值為多少？（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1）90；（2）4或16秒；（3）t的值為6、15、24、33.

【解析】試題分析：（1）由∠MON=90°即可得出結(jié)論；

（2）分兩種情況討論即可；

（3）分四種情況討論即可．

試題解析：解：（1）90；

（2）（i）如圖，

當(dāng)直角邊ON在∠AOC外部時(shí)，由直線ON平分∠AOC，可得∠BON=30°．因此三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°．此時(shí)三角板的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t=60°÷15°=4（秒）．

（ⅱ）如圖，當(dāng)直角邊ON在∠AOC內(nèi)部時(shí)，由直線ON平分∠AOC，可得∠CON=30°．

因此三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)240°．此時(shí)三角板的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t=240°÷15°=16（秒）．

∴當(dāng)三角板繞點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)了4秒或16秒時(shí)，直角三角板的直角邊ON所在直線恰好平分∠AOC．

（3）∵∠AOC：∠BOC=1：2，∴∠AOC=60°，∠BOC=120°．

①如圖①，當(dāng)∠AON=∠NOC時(shí)，此時(shí)∠AON=(360°－60°)÷2=150°，t=(150°－90°)÷10°=6（秒）；

②如圖②，當(dāng)∠NOC=60°時(shí)，此時(shí)旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為：90°+60°=150°，t=150°÷10°=15（秒）；

③如圖③，當(dāng)ON平分∠AOC時(shí)，此時(shí)t=(90°+120°+30°)÷10=24（秒）

④如圖④，當(dāng)∠AON=∠AOC時(shí)，此時(shí)t=(90°+180°+60°)÷10=33（秒）

故t的值為6、15、24、33．