Question

14．如圖，直線y=-x+3交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0）．
（1）求一點(diǎn)D，使以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．
（2）在坐標(biāo)軸上求一點(diǎn)P，使△BCP為直角三角形．

Answer 1

分析 （1）分三種情形討論，確定點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（2）當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，設(shè)出P的坐標(biāo)（x，0），寫出PC的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理可計(jì)算出BC、BP的長(zhǎng)，利用勾股定理求出x；同理求出點(diǎn)P在y軸上的坐標(biāo)．

解答 （1）解：BC為對(duì)角線時(shí)，D（-2，3），
AC為對(duì)角線時(shí)，D（4，-3），
AB為對(duì)角線時(shí)，D（2，3）
∴D（4，-3）或（-2，3）或（2，3）．

（2）假設(shè)在x軸的負(fù)半軸上有點(diǎn)P，其坐標(biāo)為（x，0）即OP=-x，
∴BP=$\sqrt{{x}^{2}+{3}^{2}}$．
∵OB=3，OC=1，
∴BC=$\sqrt{10}$，PC=1-x．
由勾股定理：BC²+BP²=PC²，
∴10+x²+3²=（x-1）²，
解得x=-9．
即點(diǎn)P（-9，0）；
假設(shè)在y軸的負(fù)半軸上有點(diǎn)P，其坐標(biāo)為（0，x）即OP=-x，
∴CP=$\sqrt{{1}^{2}+{x}^{2}}$．
∵OB=3，OC=1，
∴BC=$\sqrt{10}$，PO=3-x．由勾股定理：BC²+CP²=PB²，
∴10+x²+1²=（3-x）²，
解得x=-$\frac{1}{3}$．即
點(diǎn)P（0，-$\frac{1}{3}$）．
當(dāng)P與原點(diǎn)重合時(shí)，△PBC是直角三角形，此時(shí)P（0，0），
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)（-9，0）或（0，-$\frac{1}{3}$）或（0，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理、兩點(diǎn)間的距離公式．注意滿足條件的四邊形的點(diǎn)D有兩個(gè)；滿足軸上的點(diǎn)P有兩個(gè)，一個(gè)在x軸的負(fù)半軸上，一個(gè)在y軸的負(fù)半軸上，注意別漏解．