Question

2．如圖，兩個正方形ABDE和ACGF，點P為BC中點，連接PA交EF于點Q，試探究AP與EF的數(shù)量和位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 結(jié)論AP⊥EF，EF=2AP，延長AP到M使得AP=PM，連接CM，BM，先證明四邊形ABMC是平行四邊形，再證明△EAF≌△MCA得到EF=AM=2AP，∠EFA=∠MAC，再根據(jù)∠MAC+∠QAF=90°，推出∠QAF+∠QFA=90°，由此即可證明．

解答 解：結(jié)論AP⊥EF，EF=2AP．
理由：延長AP到M使得AP=PM，連接CM，BM．

∵AP=PM，BP=PC，
∴四邊形ABMC是平行四邊形，
∴AB=CM，AB∥CM，
∴∠ACM+∠BAC=180°，
∵四邊形ABDE和ACGF都是正方形，
∴AE=AB，AF=AC，∠EAB=∠CAF=90°，
∴∠EAF+∠BAC=180°，
∴∠EAF=∠ACM，AE=CM，AF=AC，
在△EAF和△MCA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CM}\\{∠EAF=∠ACM}\\{AF=AC}\end{array}\right.$，
∴△EAF≌△MCA，
∴EF=AM=2AP，∠EFA=∠MAC，
∵∠MAC+∠QAF=90°，
∴∠QAF+∠QFA=90°，
∴∠AQF=90°，
∴AP⊥EF，EF=2AP．

點評 本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形，學會證明垂直的方法，屬于中考�？碱}型．