Question

如圖，將一塊直角三角板OAB放在平面直角坐標(biāo)系中，B（2，0），∠AOC=60°，點(diǎn)A在第一象限，過(guò)點(diǎn)A的雙曲線為y=

k

x

，在x軸上取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作直線OA的垂線l，以直線l為對(duì)稱軸，線段OB經(jīng)軸對(duì)稱變換后的像是O′B′．設(shè)P（t，0），
（1）當(dāng)點(diǎn)O′與點(diǎn)A重合時(shí)，t的值是

4

；
（2）當(dāng)B′落在雙曲線上時(shí)，t的值是

2

5

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)軸對(duì)稱變換的性質(zhì)得到當(dāng)點(diǎn)O′與點(diǎn)A重合時(shí)，直線l垂直平分OA，則PA=PB，由B（2，0），∠AOB=60°，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到AB=

3

OB=2

3

，然后由P點(diǎn)坐標(biāo)為（t，0），則PA=PB=t，PB=t-2，在Rt△PAB中利用勾股定理得到t²=（t-2）²+（2

3

）²，求出t的值；
（2）連接BB′，B′P，作B′D⊥x軸于點(diǎn)D，由圖形反折變換的性質(zhì)可知直線l是線段BB′的垂直平分線，所以BP=B′P，再由OA⊥l可知OA∥BB′，所以∠B′BP=∠AOB=60°，故B′D是線段BP的垂直平分線，由待定系數(shù)法求出直線OA的解析式，故可得出直線BB′的解析式，由此可得出B′點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出t的值．

解答：解：（1）點(diǎn)O′與點(diǎn)A重合時(shí)，直線l垂直平分OA，如圖1，
連PA，則PA=PO，
∵B（2，0），∠AOB=60°，
∴OB=2，
∴AB=

3

OB=2

3

，
∵P點(diǎn)坐標(biāo)為（t，0），則PA=PO=t，PB=t-2，
在Rt△PAB中，PA²=PB²+AB²，即t²=（t-2）²+（2

3

）²，解得t=4，
故答案為：4；

（2）連接BB′，B′P，作B′D⊥x軸于點(diǎn)D，
∵點(diǎn)B于點(diǎn)B′重合，
∴直線l是線段BB′的垂直平分線，
∴BP=B′P，
∵OA⊥l，
∴OA∥BB′，
∴∠B′BP=∠AOB=60°，
∴B′D是線段BP的垂直平分線，
設(shè)直線OA的解析式為y=kx（k≠0），
∵OB=2，AB=2

3

，
∴A（2，2

3

），
∴2k=2

3

，即k=

3

，
∴直線OA的解析式為y=

3

x，
∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=

4 3

x

①．
∵B（2，0），
∴直線BB′的解析式為：y=

3

x-2

3

②，
①②聯(lián)立得，

x=1+ 5 y= 15 - 3

，
∴B′（1+

5

，

15

-

3

），
∴BD=1+

5

-2=

5

-1，
∴BP=2BD=2

5

-2，
∴OP=BP+OB=2

5

，
∴P（2

5

，0），即t=2

5

．
故答案為：2

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到圖形反折變換的性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)即用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等知識(shí)，難度適中．