Question

你能化簡（a-1）（a⁹⁹+a⁹⁸+a⁹⁷+…+a²+a+1）嗎？我們不妨先從簡單情況入手，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納結(jié)論．
（1）先填空：（a-1）（a+1）=______；（a-1）（a²+a+1）=______；
（a-1）（a³+a²+a+1）=______；…
由此猜想（a-1）（a⁹⁹+a⁹⁸+a⁹⁷+…+a²+a+1）=______．
（2）利用這個(gè)結(jié)論，你能解決下面兩個(gè)問題嗎？
①2¹⁹⁹+2¹⁹⁸+2¹⁹⁷+…+2²+2+1；
②若a⁵+a⁴+a³+a²+a+1=0，則a⁶等于多少？

Answer 1

解：（1）（a-1）（a+1）=a²-1；（a-1）（a²+a+1）=a³-1；
（a-1）（a³+a²+a+1）=a⁴-1；…由此猜想（a-1）（a⁹⁹+a⁹⁸+a⁹⁷+…+a²+a+1）=a¹⁰⁰-1；
（2）①根據(jù)得出的結(jié)論得：2¹⁹⁹+2¹⁹⁸+2¹⁹⁷+…+2²+2+1=（2¹⁹⁹+2¹⁹⁸+2¹⁹⁷+…+2²+2+1）（2-1）=2²⁰⁰-1；
②根據(jù)題意得：（a-1）（a⁵+a⁴+a³+a²+a+1）=a⁶-1，
將a⁵+a⁴+a³+a²+a+1=0代入得：a⁶=1．
故答案為：（1）a²-1；a³-1；a⁴-1；a¹⁰⁰-1
分析：（1）利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則及平方差公式化簡即可得到結(jié)果；
（2）歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，即可求出所求式子的結(jié)果；
（3）①利用得出的結(jié)論計(jì)算即可得到結(jié)果；②利用得出的結(jié)論計(jì)算即可得到結(jié)果．
點(diǎn)評：此題考查了整式的混合運(yùn)算，弄清規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．