Question

已知二次函數(shù)y=x²+（m+3）x+m+2，當(dāng)-1＜x＜3時，恒有y＜0；關(guān)于x的方程x²+（m+3）x+m+2=0的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和小于-

9

10

．求m的取值范圍．

Answer 1

分析：①y=x²+（m+3）x+m+2=（x+1）（x+m+2），再由當(dāng)-1＜x＜3時，恒有y＜0，可得出m的范圍；
②利用根與系數(shù)的關(guān)系，得出x₁+x₂及x₁x₂的值，根據(jù)

x1+x2

x1x2

＜-

9

10

，也可得出m的取值范圍，兩個范圍結(jié)合可得出答案．

解答：解：①由題意可得，方程x²+（m+3）x+m+2=0與x軸有兩個交點(diǎn)，
故有△＞0，即（m+3）²-4（m+2）＞0，
解得：m≠-1，
又y=x²+（m+3）x+m+2=（x+1）（x+m+2），
當(dāng)y＜0時，x可取兩個范圍：-1＜x＜-m-2或-m-2＜x＜-1，
而由題意得，當(dāng)-1＜x＜3時，恒有y＜0，
故可得，當(dāng)y＜0時，x的取值范圍為：-1＜x＜-m-2，
也可得出-m-2＞3，
解得：m＜-5；
②由題意得，方程x²+（m+3）x+m+2=0有實數(shù)根，
故有△≥0，即（m+3）²-4（m+2）≥0，
解得：m可取任意實數(shù)，
又

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=

-(m+3)

m+2

＜-

9

10

，
解得：m＜-12，
綜合①②可得：m＜-12．

點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)與一元二次方程解的聯(lián)系，要求熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系，有一定難度．