Question

已知：關(guān)于x的方程x²-（2m+1）x+2m=0
（1）求證：方程一定有兩個實數(shù)根；
（2）若方程的兩根為x₁，x₂，且|x₁|=|x₂|，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)判別式△≥0恒成立即可判斷方程一定有兩個實數(shù)根；
（2）先討論x₁，x₂的正負，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解．
解答：解：（1）關(guān)于x的方程x²-（2m+1）x+2m=0，
∴△=（2m+1）²-8m=（2m-1）²≥0恒成立，
故方程一定有兩個實數(shù)根；

（2）①當(dāng)x₁≥0，x₂≥0時，即x₁=x₂，
∴△=（2m-1）²=0，
解得m=；
②當(dāng)x₁≥0，x₂≤0時或x₁≤0，x₂≥0時，即x₁+x₂=0，
∴x₁+x₂=2m+1=0，
解得：m=-；
③當(dāng)x₁≤0，x₂≤0時，即-x₁=-x₂，
∴△=（2m-1）²=0，
解得m=；
綜上所述：當(dāng)x₁≥0，x₂≥0或當(dāng)x₁≤0，x₂≤0時，m=；當(dāng)x₁≥0，x₂≤0時或x₁≤0，x₂≥0時，m=-．
點評：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式，難度比較大，關(guān)鍵是正確分類討論x₁，x₂的正負再進行求解．