Question

已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠CAD=60°，BD=BC，AB=1，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：等腰直角三角形

專(zhuān)題：

分析：根據(jù)題意畫(huà)出圖形，有兩種情況：
①當(dāng)∠CAD在∠BAC的外部，如圖（1），延長(zhǎng)BA，過(guò)D作DE⊥AB，垂足為E，可得∠DAE=30°，設(shè)DE=x，根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，可得AD=2x，由勾股定理得AE=

3

x，然后在Rt△BED中，由勾股定理可求x=

- 3 + 7

4

，進(jìn)而求出AD=

- 3 + 7

2

；
②當(dāng)∠CAD在∠BAC的內(nèi)部，如圖（2），過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AD，垂足為F，由∠BAC=90°，∠CAD=60°，可得∠BAD=30°，在Rt△ABF中，根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，可得BF=

1

2

AB=

1

2

，然后由勾股定理可求AF=

3

2

，然后在Rt△BDF中，由勾股定理可求DF=

7

2

，所以AD=AF+DF=

3 + 7

2

．

解答：解：①當(dāng)∠CAD在∠BAC的外部，如圖（1），

延長(zhǎng)BA，過(guò)D作DE⊥AB，垂足為E，
∵∠BAC=90°，∠CAD=60°，
∴∠DAE=30°，
設(shè)DE=x，則AD=2x，
由勾股定理得：AE=

3

x，
△ABC中中，
∵AB=AC，∠BAC=90°，AB=1，
∴AC=1，
由勾股定理得：
AB²+AC²=BC²，
即：1²+1²=BC²，
∴BC=

2

，
∵BD=BC，
∴BD=

2

，
在Rt△BED中，由勾股定理得：
BE²+ED²=BD²，
即：（1+

3

x）²+x²=（

2

）²，
解：x₁=

- 3 + 7

4

，x₂=

- 3 - 7

4

（舍去），
∴AD=2x=

- 3 + 7

2

；
②當(dāng)∠CAD在∠BAC的內(nèi)部，如圖（2），

過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AD，垂足為F，
∵∠BAC=90°，∠CAD=60°，
∴∠BAD=30°，
∴BF=

1

2

AB=

1

2

，
在Rt△ABF中，
由勾股定理得：
AB²=BF²+AF²，
即：1²=（

1

2

）²+AF²，
∴AF=

3

2

，
∵AB=AC，∠BAC=90°，AB=1，
∴AC=1，
由勾股定理得：
AB²+AC²=BC²，
即：1²+1²=BC²，
∴BC=

2

，
∵BD=BC，
∴BD=

2

，
在Rt△BED中，由勾股定理得：
BF²+FD²=BD²，
即：（

1

2

）²+FD²=（

2

）²，
∴DF=

7

2

，
∴AD=AF+DF=

3 + 7

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)題意畫(huà)出圖形，分兩種情況：①當(dāng)∠CAD在∠BAC的外部，②當(dāng)∠CAD在∠BAC的內(nèi)部．