Question

如圖，已知ABCD是圓的內接四邊形，對角線AC和BD相交于E，BC=CD=4，AE=6，如果線段BE和DE的長都是整數，則BD的長等于

 

．

Answer 1

分析：已知了BC=CD，可得出弧BC=弧CD，根據圓周角定理可得出∠BAC=∠CBD；易證得△CBE∽△CAB，根據所得的關于AC、CE、BC的比例關系式可求出EC的長；
根據相交弦定理得AE•EC=BE•ED，又已知BE、DE的長是整數，可求出BE、DE的取值情況；然后在△BCD中，根據三角形三邊關系定理將不合題意的解舍去．

解答：解：∵BC=CD=4，
∴

BC

=

CD

；
∴∠CBE=∠CDB=∠CAB；
又∵∠BCE=∠ACB，
∴△CBE∽△CAB，得

BC

AC

=

EC

BC

，即

4

6+EC

=

EC

4

；
化簡得：EC²+6EC-16=0，解得：EC=2（負值舍去）．
由相交弦定理，得：BE•ED=AE•EC，
∴BE•ED=2×6=12；
則BE和DE可取的值分別為3，4；2，6；1，12；
又因為BC=CD=4，所以BD＜BC+CD=4+4=8．
故為BD=3+4=7．

點評：此題是一道開放題，先根據相似三角形的性質和相交弦定理估算出BE、ED，再根據三角形兩邊之和大于第三邊將不合題意的解舍去，綜合性較強，難度較大．