Question

10．如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，BC=DC，∠A=90°，∠ABC=105°．若AB=5$\sqrt{6}$，則△ABD外心與△BCD外心的距離為何？（　�。�

• A． 5
• B． 5$\sqrt{3}$
• C． $\frac{10}{3}$
• D． $\frac{10}{3}$$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 如圖，連接AC，作DF⊥BC于F，AC與BD、DF交于點E、G，先證明E是△ABD外心，G是△BCD外心，在RT△EGD中，根據(jù)tan∠EDG=$\frac{EG}{ED}$即可解決問題．

解答 解：如圖，連接AC，作DF⊥BC于F，AC與BD、DF交于點E、G．
∵AB=AD，CB=CD，
∴AC垂直平分BD，
∵∠BAD=90°，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∵∠ABC=105°，
∴∠CBD=60°，∵CB=CD，
∴△BCD是等邊三角形，△ABD是等腰直角三角形，
∴點E是△BAD的外心，點G是△BCD的外心，
在RT△ABD中，∵AB=AD=5$\sqrt{6}$，
∴BD=10$\sqrt{3}$，
∴BE=DE=5$\sqrt{3}$，
在RT△EDG中，∵∠DEG=90°，∠EDG=30°，ED=5$\sqrt{3}$，
∴tan30°=$\frac{EG}{ED}$，
∴EG=5．
∴△ABD外心與△BCD外心的距離為5．
故選A．

點評 本題考查三角形的外接圓、外心、等腰直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握特殊三角形的外心的位置，屬于中考�？碱}型．