Question

如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，P為BC所在直線上一點(diǎn)，D為AB所在直線上一點(diǎn)，操作：當(dāng)PA=PD時(shí)，過點(diǎn)D作BC所在直線的垂線，垂足為E．

（1）猜測(cè)線段PE與線段BC的數(shù)量關(guān)系；
（2）請(qǐng)你利用圖②，圖③，選擇不同位置的點(diǎn)P、D按上述方法操作；
（3）經(jīng)歷（2）之后，如果認(rèn)為你猜測(cè)的結(jié)論是正確的，請(qǐng)加以證明；如果認(rèn)為你猜測(cè)的結(jié)論是錯(cuò)誤的，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)A作AM⊥BC，垂足為M，可證明△PDE≌△APM，則PM=DE，根據(jù)題意得△BDE是等腰直角三角形，從而得出PE的長(zhǎng)即為BM的長(zhǎng)，再由等腰三角形的性質(zhì)得出PE是BC的一半；
（2）再把點(diǎn)P分別放在點(diǎn)P在CB的延長(zhǎng)線上和BC的延長(zhǎng)線上；
（3）當(dāng)點(diǎn)P分別放在點(diǎn)P在CB的延長(zhǎng)線上（1）中的結(jié)論仍成立，當(dāng)點(diǎn)P分別放在點(diǎn)P在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)不成立，按上述操作，證明當(dāng)點(diǎn)P分別放在點(diǎn)P在CB的延長(zhǎng)線上△PDE≌△APM，PE是BC的一半．

解答：解：（1）如圖，過點(diǎn)A作AM⊥BC，垂足為M，
∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=45°，
∵PA=PD，∴∠BAP=∠PDB，
∵DE⊥BC，∴∠BDE=∠EBD=45°，
∴∠APM=∠PDE，
∴△PDE≌△APM，∴PM=DE，
∵ED=BE，∴PM=BE，
∴PE=BM=

1

2

BC；

（2）如圖，點(diǎn)P在CB的延長(zhǎng)線上，
當(dāng)點(diǎn)P分別放在點(diǎn)P在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)不成立；

（3）當(dāng)點(diǎn)P分別放在點(diǎn)P在CB的延長(zhǎng)線上，
如（2）中圖，如圖，過點(diǎn)A作AM⊥BC，垂足為M，
∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=45°，
∵PA=PD，∴∠BAP=∠PDB，
∵DE⊥BC，∴∠BDE=∠EBD=45°，
∴∠APM=∠PDE，
∴△PDE≌△APM，∴PM=DE，
∵ED=BE，∴PM=BE，
∴PE=BM=

1

2

BC；
此時(shí)成立，
當(dāng)點(diǎn)P分別放在點(diǎn)P在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，
∵PA=PD，∴∠BAP=∠PDB，
∵∠BAP=∠PDB＞90°，
∴由三角形的內(nèi)角和定理得，
當(dāng)點(diǎn)P分別放在點(diǎn)P在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)不成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，是一道綜合題難度較大．