Question

15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是（-2，0）、（0，4）．動(dòng)點(diǎn)P從O出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)C以每秒2個(gè)單位的速度在y軸上從點(diǎn)B出發(fā)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O停止，點(diǎn)C停止運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)P也隨之停止運(yùn)動(dòng)．以CP、CO為鄰邊構(gòu)造?PCOD，在線段OP的延長線長取點(diǎn)E，使得PE=2．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）求證：四邊形ADEC是平行四邊形；
（2）以線段PE為對角線作正方形MPNE，點(diǎn)M、N分別在第一、四象限．
①當(dāng)點(diǎn)M、N中有一點(diǎn)落在四邊形ADEC的邊上時(shí)，求出所有滿足條件的t的值；
②若點(diǎn)M、N中恰好只有一點(diǎn)落在四邊形ADEC的內(nèi)部（不包括邊界）時(shí)，設(shè)?PCOD的面積為S，直接寫出S的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）連接CD交OP于點(diǎn)G，由?PCOD的對角線互相平分，得四邊形ADEC是平行四邊形；
（2）①第一種情況，當(dāng)點(diǎn)M在CE邊上時(shí)，由△EMF∽△ECO，再利用正方形對角線相等求解；第二種情況，當(dāng)點(diǎn)N在DE邊上時(shí)，由△EFN∽△EPD，再利用正方形對角線相等求解；
②當(dāng)$\frac{2}{3}$≤t≤1時(shí)，求出S的取值范圍．

解答 （1）證明：如圖1，連接CD交AE于F，
∵四邊形PCOD是平行四邊形，
∴CF=DP，OF=PF，
∵PE=AO，
∴AF=EF，又CF=DF，
∴四邊形ADEC為平行四邊形；

（2）解：①當(dāng)M點(diǎn)在CE上時(shí)，第一種情況：如圖，當(dāng)點(diǎn)M在CE邊上時(shí)，
∵M(jìn)F∥OC，
∴△EMF∽△ECO，
∴$\frac{MF}{CO}$=$\frac{EF}{OE}$，
∵四邊形MPNE為正方形，
∴MF=EF，
∴CO=EO，即4-2t=t+2，
∴t=$\frac{2}{3}$；
第二種情況：當(dāng)點(diǎn)N在DE邊時(shí)，
∵NF∥PD，
∴△EFN∽△EPD，
∴$\frac{FN}{PD}=\frac{FE}{PE}$，
∵四邊形MPNE為正方形，
∴NF=EF，
∴PD=PE，即4-2t=2，
∴t=1；
∴當(dāng)點(diǎn)M、N中有一點(diǎn)落在四邊形ADEC的邊上時(shí)，所有滿足條件的t的值為t=$\frac{2}{3}$或t=1；
②解：∵$\frac{2}{3}$≤t≤1，
S=（4-2t）t=-2t²+4t=-2（t-1）²+2，
∴點(diǎn)M、N中恰好只有一點(diǎn)落在四邊形ADEC的內(nèi)部（不包括邊界）時(shí)，$\frac{16}{9}$≤S＜2．

點(diǎn)評 本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)和判定、勾股定理的應(yīng)用，掌握對角線互相平分的四邊形是平行四邊形是解題的關(guān)鍵，注意坐標(biāo)與圖形的關(guān)系的應(yīng)用．