Question

（2012•西城區(qū)二模）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y₁=2x²+

1

4

的頂點為M，直線y₂=x，點P（n，0）為x軸上的一個動點，過點P作x軸的垂線分別交拋物線y₁=2x²+

1

4

和直線y₂=x于點A，點B．
（1）直接寫出A，B兩點的坐標（用含n的代數式表示）；
（2）設線段AB的長為d，求d關于n的函數關系式及d的最小值，并直接寫出此時線段OB與線段PM的位置關系和數量關系；
（3）已知二次函數y=ax²+bx+c（a，b，c為整數且a≠0），對一切實數x恒有x≤y≤2x²+

1

4

，求a，b，c的值．

Answer 1

分析：（1）由題意不難看出：點P、A、B三點的橫坐標相同，將點P橫坐標代入函數y₁、y₂的解析式中即可確定A、B兩點的坐標．
（2）首先根據題意畫出圖形，可看出拋物線y₁的圖象始終在直線y₂的上方，那么線段AB的長可由點A、B的縱坐標差求得，據此求出關于d、n的函數解析式，根據函數的性質先確定出符合題意的n、d值，即可確定點B、P的坐標，點M的坐標易得，根據這四點坐標即可確定線段OB、PM的位置和數量關系．
（3）首先將函數解析式代入不等式中，再根據利用函數圖象解不等式的方法來求出待定系數的取值范圍，最后根據a、b、c都是整數確定它們的值．

解答：解：（1）當x=n時，y₁=2n²+

1

4

，y₂=n；
∴A（n，2n²+

1

4

），B（n，n）．

（2）d=AB=|y_A-y_B|=|2n²-n+

1

4

|．
∴d=|2（n-

1

4

）²+

1

8

|=2（n-

1

4

）²+

1

8

．
∴當n=

1

4

時，d取得最小值

1

8

．
此時，B（

1

4

，

1

4

），而M（0，

1

4

）、P（

1

4

，0）
∴四邊形OMBP是正方形
∴當d取最小值時，線段OB與線段PM的位置關系和數量關系是OB⊥PM且OB=PM．（如圖）

（3）∵對一切實數x恒有 x≤y≤2x²+

1

4

，
∴對一切實數x，x≤ax²+bx+c≤2x²+

1

4

都成立．（a≠0）①
當x=0時，①式化為 0≤c≤

1

4

．
∴整數c的值為0．
此時，對一切實數x，x≤ax²+bx≤2x²+

1

4

都成立．（a≠0）
即 

x≤ax2+bx② ax2+bx≤2x2+ 1 4 ③

對一切實數x均成立．
由②得 ax²+（b-1）x≥0  （a≠0）對一切實數x均成立．
∴

a＞0④ △1=(b-1)2≤0⑤

由⑤得整數b的值為1．
此時由③式得，ax²+x≤2x²+

1

4

對一切實數x均成立．（a≠0）
即（2-a）x²-x+

1

4

≥0對一切實數x均成立．（a≠0）
當a=2時，此不等式化為-x+

1

4

≥0，不滿足對一切實數x均成立．
當a≠2時，∵（2-a）x²-x+

1

4

≥0對一切實數x均成立，（a≠0）
∴

2-a＞0⑥ △2=(-1)2-4×(2-a)× 1 4 ≤0⑦

∴由④，⑥，⑦得 0＜a≤1．
∴整數a的值為1．
∴整數a，b，c的值分別為a=1，b=1，c=0．

點評：該題考查的重點是二次函數的性質以及利用函數圖象解不等式的方法；難點是最后一題，熟練掌握二次函數與不等式的關系是解題的關鍵：
若ax²+bx+c＞0（a≠0）恒成立，那么y=ax²+bx+c（a≠0）的函數圖象：開口向上且拋物線與x軸無交點，即：a＞0且△=b²-4ac＜0．（可利用函數圖象輔助理解）