Question

18．如圖，點(diǎn)P是菱形ABCD對角線BD上一點(diǎn)，連結(jié)CP并延長，交AD于E，交BA的延長線于F，
（1）求證：∠BCP=∠BAP；
（2）若AB=3，DP：PB=1：3，且PA⊥BF，求PA和BD的長．

Answer 1

分析 （1）直接利用菱形的性質(zhì)結(jié)合全等三角形的判定方法得出：∠BCP=∠BAP；
（2）直接利用已知得出△CDP∽△FBP，可得BF的長，再利用勾股定理得出答案．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠CBD=∠ABD，BC=AB，
在△CBD和△ABD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=BA}\\{∠CBD=∠ABD}\\{BP=BP}\end{array}\right.$，
∴△CBD≌△ABD（SAS），
∴∠BCP=∠BAP；

（2）解：∵AB=3，
∴CD=3，
∵DC∥AB，
∴△CDP∽△FBP，
∴$\frac{DC}{BF}$=$\frac{DP}{BP}$=$\frac{CP}{PF}$=$\frac{1}{3}$，
∴BF=3CD=9，
∴AF=6，
∵PA⊥BF，
∴BC⊥CF，
∴Rt△BCF中，
CF=$\sqrt{B{F}^{2}-B{C}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
∴PF=$\frac{3}{4}$CF=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$，
∴Rt△PAF中，PA=$\sqrt{P{F}^{2}-A{F}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×3=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴Rt△ABP中，BP=$\sqrt{A{B}^{2}+A{P}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$×3=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$，
∴BD=$\frac{4}{3}$BP=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$×3=2$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評 此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理等知識，正確應(yīng)用菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．