解:(1)由矩形ABCD,得AB=CD,∠A=∠ADC=90°.
在Rt△ABE中,∵∠ABE=30°,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8822.png)
,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/462556.png)
,BE=2AE=4.(2分)
又∵BE=DE,∴DE=4.
于是,由AD=AE+DE,得AD=6.(2分)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201304/51d662a35b97b.png)
(2)連接CM.
在Rt△ABD中,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/462557.png)
.(1分)
∴BD=2AB,即得∠ADB=30°.
∵MN∥BD,∴∠AMN=∠ADB=30°.(1分)
又∵MN∥BD,點M為線段DE的中點,
∴DM=EM=2,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/462558.png)
.
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/462559.png)
.(1分)
在Rt△CDM中,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/462560.png)
.
∴∠CMD=60°,即得CM=4,∠CMN=90°.(1分)
由勾股定理,得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/462561.png)
.
于是,由MF⊥CN,∠CMN=90°,
得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/462562.png)
.(1分)
(3)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/462563.png)
.(1分)
證明如下:過點E作EF⊥BD,垂足為點F.
∵BE=DE,EF⊥BD,∴BD=2DF.(1分)
在Rt△DEF中,由∠EDB=30°,
得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/462564.png)
,即得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/462565.png)
.(1分)
∵MN∥BD,∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/462566.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/462567.png)
,即得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/462568.png)
,BN=DM.
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/462569.png)
.(1分)
于是,由BE=BN+EN,得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/462563.png)
.
分析:(1)根據(jù)矩形的四個內(nèi)角都是直角、對邊相等的性質(zhì)求得AB=CD,∠A=∠ADC=90°.然后在Rt△ABE中利用特殊角的三角函數(shù)值求得AB、AE、BE及DE的值;所以由AD=AE+DE求得AD的值即可;
(2)連接CM.在Rt△ABD中,利用勾股定理求得BD=4
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
,然后利用直角三角形的邊角關系求得∠ADB=30°,由平行線MN∥BD的內(nèi)錯角相等知,∠AMN=∠ADB=30°;再由平行線MN∥BD分線段成比例求得MN的長度;最后在Rt△CDM中利用邊角關系、勾股定理求解;
(3)過點E作EF⊥BD,垂足為點F(圖1).由已知條件BE=DE,EF⊥BD,求得BD=2DF;然后在Rt△DEF中,利用邊角關系求得BD與BE的數(shù)量關系;再有平行線MN∥BD分線段成比例解得EN與MN的關系.
點評:本題結(jié)合矩形的性質(zhì)考查了平行線分線段成比例、勾股定理的應用、直角三角形的解法.本題是利用圖形間的角、邊關系求解.