Question

△ABC中，AB=AC=2，BC邊上有100個(gè)不同的點(diǎn)p₁，p₂，…p₁₀₀；記m_i=AP_i²+BP_i×P_iC（i=1，2，…100）求：m₁+m₂+…+m₁₀₀的值．

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理

專題：規(guī)律型

分析：作AD⊥BC于D．根據(jù)勾股定理，得AP_i²=AD²+DP_i²=AD²+（BD-BP_i）²=AD²+BD²-2BD•BP_i+BP_i²，P_iB•P_iC=P_iB•（BC-P_iB）=2BD•BP_i-BP_i²，從而求得M_i=AD²+BD²，即可求解．

解答：解：作AD⊥BC于D，則BC=2BD=2CD．

根據(jù)勾股定理，得
AP_i²=AD²+DP_i²=AD²+（BD-BP_i）²=AD²+BD²-2BD•BP_i+BP_i²，
又∵P_iB•P_iC=P_iB•（BC-P_iB）=2BD•BP_i-BP_i²，
∴M_i=AD²+BD²=AB²=4，
∴M₁+M₂+…+M₁₀+M₁₀₀=4×100=400．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理的靈活運(yùn)用，本題中根據(jù)勾股定理化簡AP_i²=AD²+DP_i²是解題的關(guān)鍵．