Question

【題目】如圖，在矩形中，是上一點(diǎn)，垂直平分，分別交、、于點(diǎn)、、，連接、.

(1)求證：；

(2)求證：四邊形是菱形；

(3)若，為的中點(diǎn)，，求的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；(3).

【解析】

（1）先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)證明PB＝PE，由ASA證明△BOQ≌△EOP；

（2）由（1）得出PE＝QB，證出四邊形BPEQ是平行四邊形，再根據(jù)菱形的判定即可得出結(jié)論；

（3）根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得AE＋BE＝2OF＋2OB＝18，設(shè)AE＝x，則BE＝18x，在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理可得，BE＝10，得到，設(shè)PE＝y，則AP＝8y，BP＝PE＝y，在Rt△ABP中，根據(jù)勾股定理可得，解得，在Rt△BOP中，根據(jù)勾股定理可得，由PQ＝2PO即可求解．

解：(1)∵垂直平分，

∴，，

∵四邊形是矩形，

∴，

∴，

在與中，，

∴，

(2)∵

∴，

又∵，

∴四邊形是平行四邊形，

又∵，

∴四邊形是菱形；

(3)∵，分別為，的中點(diǎn)，

∴，

設(shè)，則，在中，，

解得，，

∴，

設(shè)，則，，

在中，，

解得，

在中，，

∴.