Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝－x2＋bx＋c交x軸于點(diǎn)A(2，0)、B（一8，0），交y軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的⊙M與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D．

(1)求此拋物線的表達(dá)式及圓心M的坐標(biāo)；

(2)設(shè)P為弧BC上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接AP交y軸于點(diǎn)N，請(qǐng)問：AP·AN是否為定值，若是，請(qǐng)求出這個(gè)值；若不是，請(qǐng)說明理由；

(3)延長(zhǎng)線段BD交拋物線于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)F是線段BE上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接AF．動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F，再沿線段FB以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B后停止，問當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)Q在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過裎中所用時(shí)間最少？

Answer 1

【答案】（1）M(－3,0) （2）定值是20 （3）F(－2,－3)

【解析】(1)、根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)得出函數(shù)解析式，從而得出點(diǎn)C的坐標(biāo)以及AB、AC和BC的長(zhǎng)度，從而得出△ABC為直角三角形，根據(jù)圓的性質(zhì)得出點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)、根據(jù)題意得出△APB和△AON相似，從而得出答案；(3)、過點(diǎn)B在BE的下面作射線BI，交y軸于點(diǎn)I，過點(diǎn)A做AH⊥BI，垂足為點(diǎn)H,與射線BE的交點(diǎn)即為運(yùn)動(dòng)時(shí)間最少時(shí)點(diǎn)F的位置，過點(diǎn)D做DK⊥BI，垂足為K，根據(jù)勾股定理得出點(diǎn)I的坐標(biāo)，從而得出BI和AH的函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)交點(diǎn)問題列出方程得出點(diǎn)F的坐標(biāo)．

(1)、將A（2，0）、B（－8，0）兩點(diǎn)代入得： ，

解得： ，∴拋物線的表達(dá)式為： ，∴ C(0，4)，

∴ BC＝4， AC＝2，AB＝10， ∴△ABC為直角三角形,且∠ACB＝90°，

∵∠ACB＝90°， ∴AB為直徑， ∴M(－3，0)；

(2)、如圖: ∵AB為直徑， ∴∠APB＝90°， ∵∠APB＝∠AON, ∠NAO＝∠BAP，

∴△APB∽△AON，∴， ∴AN·AP＝AB·AO＝20，∴為定值,定值是20．

(3)、過點(diǎn)B在BE的下面作射線BI，交y軸于點(diǎn)I，

過點(diǎn)A做AH⊥BI，垂足為點(diǎn)H,與射線BE的交點(diǎn)即為運(yùn)動(dòng)時(shí)間最少時(shí)點(diǎn)F的位置，

過點(diǎn)D做DK⊥BI，垂足為K， ∵BE平分∠ABI，∴DI＝DO＝4，BO＝BK＝8，

設(shè)DI＝x,則KI＝2x－8， ∴16＋＝， (舍去)，

∴I(0，) ， ∴BI表達(dá)式為:， ∴AH表達(dá)式為，

∵BD表達(dá)式為， ∴， ∴＝－2， ∴F(－2，－3) ．