Question

如圖，△OAB中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，2），點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→O的方向以每秒個(gè)單位勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)D（0，2）出發(fā)，沿y軸正方向以每秒2個(gè)單位勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)O時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）求∠BAO的度數(shù)．
（2）設(shè)△OPQ的面積為S（平方單位），求當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，S（平方單位）與時(shí)間t（秒）之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍．
（3）當(dāng)點(diǎn)P沿A→B→O的方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，試問：是否存在點(diǎn)P使∠OPQ=90°？如果存在，請(qǐng)求出相應(yīng)的時(shí)間t；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）過B作BE⊥OA于E
∵B（2，2），則BE=OE=2
由勾股定理得：OB=2
∵A（4，0），∴AE=2
由勾股定理得，AB=2
∴OB=AB
∴△ABO為等腰三角形
∴OB²=8，AB²=8，OA²=16
∴OB²+AB²=OA²
∴△ABO是等腰直角三角形
∴∠BAO=45°；

（2）過點(diǎn)P作PC⊥OA于點(diǎn)C，
∴PC=AC
在Rt△PCA中，AP=t由勾股定理得
AC²+PC²=AP²
∴AC=t
∴OC=4-t
∵OQ=2+2t
∴S=（4-t）（2+2t）
即S=-t²+3t+4 （0≤t≤4）；

（3）分類討論：
①當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，則∠OPQ=90°作PF⊥OA于F．
∴∠OFP=90°
∴∠AOP+∠OPF=90°
∵∠AOP+∠QOP=90°
∴∠OPF=∠QOP
∴△PFO∽△OPQ
∴
∵PA=，∴PF=AF=t，OQ=2+2t
∴OF=4-t，由勾股定理得
OP=
∴t²+（4-t）²=t²+（2+2t）²
解得t=1.6．
②當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t秒在OB上時(shí)，則∠OPQ=90°則△OQP是等腰直角三角形．（t＞2）
∴OP=PQ
∵OP＜2
∴OP+PQ＜4
∵OQ=2+2t （t＞2）
∴2+2t＞4
∴兩邊之和小于第三邊，此三角形不存在．
綜上所述t=1.6．
分析：（1）要求∠BAO的度數(shù)，由點(diǎn)B、點(diǎn)A的坐標(biāo)很容易證明出△OAP是等腰直角三角形，故求出∠BAO的度數(shù)．
（2）要表示出△OPQ的面積為S于時(shí)間t的關(guān)系式的關(guān)鍵是表示出OQ邊上的高，利用等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可以表示出來(lái)，最后利用三角形的面積公式列出等式就可以了．
（3）是一道分類討論試題，當(dāng)P點(diǎn)在AB上時(shí)存在滿足條件的P點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P在OB上時(shí)，滿足條件的點(diǎn)不存在，利用三角形的三邊關(guān)系可以證明．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理逆定理的運(yùn)用以及等腰三角形的性質(zhì)．還涉及到了三角形三邊關(guān)系的運(yùn)用，是一道綜合性較強(qiáng)難度較大的試題．