Question

如圖，邊長為1的正△ABC，沿EF折疊，使B點(diǎn)落在AC上的點(diǎn)H處，且FH⊥AC，求折成的四邊形AEFC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）,等邊三角形的性質(zhì)

專題：計算題

分析：作FD⊥AB于D，如圖，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠B=∠C=90°，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得FH=FB，∠HFE=∠BFE，利用FH⊥AC得到∠HFC=30°，設(shè)HC=t，在Rt△FHC中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得FC=2t，F(xiàn)H=

3

t，則BF=

3

t，所以2t+

3

t=1，解得t=2-

3

，所以BF=

3

t=2

3

-3；再計算∠BFH=180°-∠HCF=150°，則∠BFE=75°，于是根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠2=45°；在Rt△BDF中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得BD=

1

2

BF=

3

-

3

2

，
DF=

3

BD=3-

3 3

2

，在△DEF中，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得DE=DF=3-

3 3

2

，所以BE=BD+DF=

3

-

3

2

+3-

3 3

2

=

3- 3

2

，然后根據(jù)三角形面積公式計算出S_△BEF=

27-15 3

8

，最后利用四邊形AEFC的面積=S_△ABC-S_△BEF進(jìn)行計算．

解答：解：作FD⊥AB于D，如圖，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠B=∠C=90°，
∵等邊△ABC沿EF折疊，使B點(diǎn)落在AC上的點(diǎn)H處，
∴FH=FB，∠HFE=∠BFE，
∵FH⊥AC，
∴∠HFC=30°，
設(shè)HC=t，
在Rt△FHC中，F(xiàn)C=2t，F(xiàn)H=

3

t，
∴BF=FH=

3

t，
∵BC=BF+FC=1，
∴2t+

3

t=1，
解得t=2-

3

，
∴BF=

3

t=2

3

-3，
∵∠BFH=180°-∠HCF=150°，
∴∠BFE=75°，
∴∠2=180°-∠B-∠BFE=45°，
在Rt△BDF中，BD=

1

2

BF=

3

-

3

2

，
DF=

3

BD=3-

3 3

2

，
在△DEF中，DE=DF=3-

3 3

2

，
∴BE=BD+DF=

3

-

3

2

+3-

3 3

2

=

3- 3

2

，
∴S_△BEF=

1

2

FD•BE=

1

2

•（3-

3 3

2

）•

3- 3

2

=

27-15 3

8

，
∴四邊形AEFC的面積=S_△ABC-S_△BEF
=

3

4

×1²-

27-15 3

8

=

17 3 -27

8

．

點(diǎn)評：本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．也考查了等邊三角形的性質(zhì)和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．