Question

已知：如圖，△ABC中，BD，CE分別平分∠B和∠C，P是DE中點，過點P作BC，CA，AB的垂線，垂足分別為L，M，N，求證：PL=PM+PN．

Answer 1

考點：角平分線的性質,三角形中位線定理,梯形中位線定理

專題：證明題

分析：過D作DF⊥BC交BC于F，過E作EG⊥BC交BC于G，過D作DH⊥AB交AB于H，過E作EK⊥AC交AC于K．
由DF⊥BC、PL⊥BC、EG⊥BC，可知DF∥PL∥EG，進而可得出PL是梯形DEGF的中位線，所以PL=

DF+EG

2

．由角平分線的性質可知EG=EK，DF=DH，同理可得PM是△DEK的中位線，PN是△DEH的中位線，再通過等量代換即可得出結論．

解答：解：過D作DF⊥BC交BC于F，過E作EG⊥BC交BC于G，過D作DH⊥AB交AB于H，過E作EK⊥AC交AC于K．
∵DF⊥BC、PL⊥BC、EG⊥BC，
∴DF∥PL∥EG，
又∵PD=EP，
∴PL是梯形DEGF的中位線，
∴PL=

DF+EG

2

．
∵點E在∠ACB的平分線上，
∴EG=EK．
∵點D在∠ABC的平分線上，
∴DF=DH．
∴PL=

DH+EK

2

．
∵PM⊥AC、EK⊥AC，
∴PM∥EK，
又∵DP=EP，
∴PM是△DEK的中位線，
∴EK=2PM．
∵PN⊥AB、DH⊥AB，
∴PN∥DH，
又∵DP=EP，
∴PN是△DEH的中位線，
∴DH=2PN．
∵PL=

DH+EK

2

，EK=2PM、DH=2PN，
∴PL=PM+PN．

點評：本題考查的是角平分線的性質，涉及到三角形、等腰梯形的中位線定理，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關鍵．