Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于點(diǎn)C，AC平分∠DAB．
（1）求證：AD⊥DC；
（2）若AD=2，AC=

5

，求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接OC，由OA=OC可以得到∠OAC=∠OCA，然后利用角平分線的性質(zhì)可以證明∠DAC=∠OCA，接著利用平行線的判定即可得到OC∥AD，然后利用OC⊥CD，由此即可證明AD⊥CD；
（2）連接BC，根據(jù)圓周角定理的推理得到∠ACB=90°，又因?yàn)椤螪AC=∠OAC，由此可以得到△ADC∽△ACB，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．

解答：（1）證明：連接OC
∵直線CD與⊙O相切于點(diǎn)C，
∴OC⊥CD，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠OAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∴AD⊥CD，

（2）解：連接BC，則∠ACB=90°，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
又∵∠DAC=∠OAC，
∴△ADC∽△ACB
∴

AD

AC

=

AC

AB

，
則

2

5

=

5

AB

，
解得：AB=2.5．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了切線的性質(zhì)與判定以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，利用已知條件證明△ADC∽△ACB即可解決問(wèn)題．