Question

解答題

已知拋物線y＝(m＋1)x²－2mx＋m(m為整數(shù))經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，1)，頂點(diǎn)為P，且與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．

(1)判斷點(diǎn)P是否在線段OA上(O為坐標(biāo)原點(diǎn))．并說(shuō)明理由．

(2)設(shè)該拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁、x₂，且x₁＜x₂，是否存在實(shí)數(shù)m，使x₁＜m＜x₂？若存在，請(qǐng)求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

∵y＝(m＋1)x2－2mx＋m＝(m＋1)(x－)2＋，∴拋物線的頂點(diǎn)p的坐標(biāo)為(，)，直線OA對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)解析式為y＝x．∵拋物線y＝(m＋1)x2－2mx＋m與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∴Δ＝(－2m)2－4m(m＋1)＝4m2－4m2－4m＝－4m＞0，又∵m＋1≠0，∴m＜0，且m≠1． 　　(1)點(diǎn)P不在線段OA上(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，理由如下：由m＜0且m≠－1，可分兩種情況討論，①當(dāng)－1＜m＜0時(shí)，m＋1＞0，＜0，點(diǎn)P在第三象限，此時(shí)，點(diǎn)P不在線段OA上，②當(dāng)m＜－1時(shí)，m＋1＜0，＞0，點(diǎn)P在第一象限，∵－1＝＞0，∴＞1，∴點(diǎn)P不在線段OA上，綜上所述，點(diǎn)P不在線段OA上． 　　(2)存在實(shí)際m滿足x1＜m＜x2，下面求m的取值范圍令y＝0，得(m＋1)x2－2mx＋m＝0(OA)則x1、x2為方程(*)的兩相異實(shí)根，且x1＋x2＝，x1，x2＝，(x1－m)(x2－m)＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＝－＋m2＝，由x1＜m＜x2得x1－m＜0，x2－m＞0，∴(x1－m)(x2－m)＜0，即＜0．∵m＜0，且m≠－1，且m2－m＋1＝(m－)2＋＞0，∴m(m2－m＋1)＜0．根據(jù)實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則，可知m＋1＞0，即m＞－1，∴m的取值范圍為－1＜m＜0．