Question

已知△ABC中，AB=，AC=3，D是邊AC上一點(diǎn)，且AD：DC=1：2，連接BD．
（1）求證：△ABD∽△ACB；
（2）若sin∠ACB=，試畫(huà)出符合條件的大致圖形，并求BD的長(zhǎng)度？

Answer 1

解：（1）由AC=3，AD：DC=1：2，
得AD=1，CD=2，
∵∠BAD=∠CAB，=，==，
∴△ABD∽△ACB；

（2）如圖①所示，過(guò)A點(diǎn)作BC的垂線，交CB的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，
在△ACE中，
∵sin∠ACB==，AC=3，
∴AE=1，
由勾股定理，得CE==2，
在Rt△ABE中，AB=，由勾股定理，得BE==，
∴BC=CE-BE=2-=，
由（1）可知，△ABD∽△ACB，
∴=，即BD==．
如圖②所示，過(guò)A點(diǎn)作BC的垂線，交CB于E點(diǎn)，
在△ACE中，
∵sin∠ACB==，AC=3，
∴AE=1，
由勾股定理，得CE==2，
在Rt△ABE中，AB=，由勾股定理，得BE==，
∴BC=CE+BE=2+=3，
由（1）可知，△ABD∽△ACB，
∴=，即BD=．
分析：（1）根據(jù)∠BAD=∠CAB，結(jié)合線段的比相等證明：△ABD∽△ACB；
（2）畫(huà)出圖象，過(guò)A點(diǎn)作BC的垂線，交CB的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)（或交CB于E），在△ACE中，已知sin∠ACB=，AC=3，可求AE，由勾股定理求CE，在Rt△ABE中，AB=，由勾股定理求BE，根據(jù)BC=CE-BE或（BC=CE+BE）求BC，再利用（1）中的相似三角形求BD．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．關(guān)鍵是利用公共角，線段的比得到相似三角形，再利用相似三角形的性質(zhì)解題．