Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．
求證：AF平分∠BAC．

Answer 1

證明：∵AB=AC（已知），
∴∠ABC=∠ACB（等邊對等角）．
∵BD、CE分別是高，
∴BD⊥AC，CE⊥AB（高的定義）．
∴∠CEB=∠BDC=90°．
∴∠ECB=90°-∠ABC，∠DBC=90°-∠ACB．
∴∠ECB=∠DBC（等量代換）．
∴FB=FC（等角對等邊），
在△ABF和△ACF中，
，
∴△ABF≌△ACF（SSS），
∴∠BAF=∠CAF（全等三角形對應(yīng)角相等），
∴AF平分∠BAC．
分析：先根據(jù)AB=AC，可得∠ABC=∠ACB，再由垂直，可得90°的角，在△BCE和△BCD中，利用內(nèi)角和為180°，可分別求∠BCE和∠DBC，利用等量減等量差相等，可得FB=FC，再易證△ABF≌△ACF，從而證出AF平分∠BAC．
點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理；等量減等量差相等的利用是解答本題的關(guān)鍵．