Question

10．如圖，D為⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)C在直徑BA的延長線上，且∠CDA=∠CBD．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）過點(diǎn)B作⊙O的切線交CD的延長線于點(diǎn)E，BC=6，$\frac{AD}{BD}=\frac{2}{3}$．求BE的長．

Answer 1

分析 （1）連OD，OE，根據(jù)圓周角定理得到∠ADO+∠ODB=90°，而∠CDA=∠CBD，∠CBD=∠ODB，于是∠CDA+∠ADO=90°；
（2）根據(jù)已知條件得到△CDA∽△CBD由相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{CD}{BC}=\frac{AD}{BD}$，求得CD=4，由切線的性質(zhì)得到BE=DE，BE⊥BC根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：連結(jié)OD，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠BDO，
∵∠CDA=∠CBD，
∴∠CDA=∠ODB，
又∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADO+∠ODB=90°，
∴∠ADO+∠CDA=90°，
即∠CDO=90°，
∴OD⊥CD，
∵OD是⊙O半徑，
∴CD是⊙O的切線

（2）解：∵∠C=∠C，∠CDA=∠CBD
∴△CDA∽△CBD
∴$\frac{CD}{BC}=\frac{AD}{BD}$
∵$\frac{AD}{BD}=\frac{2}{3}$，BC=6，
∴CD=4，
∵CE，BE是⊙O的切線
∴BE=DE，BE⊥BC
∴BE²+BC²=EC²，即BE²+6²=（4+BE）²
解得：BE=$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了切線的判定與性質(zhì)：過半徑的外端點(diǎn)與半徑垂直的直線是圓的切線；也考查了圓周角定理的推論以及三角形相似的判定與性質(zhì)．