Question

如圖所示，把一個(gè)直角三角尺ABC繞著60°角的頂點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)C與AB的延長線上的點(diǎn)D重合．
（1）三角尺旋轉(zhuǎn)了多少度？
（2）連接CD，試判斷△ACD的形狀，對結(jié)論加以證明；
（3）連接CE，試猜想線段AC與CE的大小關(guān)系，并予以證明，求出CE的長．

Answer 1

（本小題滿分14分）
解：（1）三角尺旋轉(zhuǎn)了180°-60°=120°；

（2）△ACD為等腰三角形．
設(shè)BE、CD相交于F，由題設(shè)三角尺ABC為Rt△，∠ABC=60°，∠A=60°，
∵△BDE由△BCA旋轉(zhuǎn)120°而得，由旋轉(zhuǎn)的特征知，BC=BD，∠DBE=60°，
∴∠CBE=120°-60°=60°．
∴BF為等腰三角形頂角的平分線，即BF⊥CD于F．
∴∠BDC=90°-∠DBE=30°，
∴∠CAD=∠CDA=30°．
即△ACD為等腰三角形．

（3）AC=CE．
由（2）知，BE垂直平分CD，
∴DE=CE，
又∵△BDE由△BCA繞B旋轉(zhuǎn)而得，
∴△ABC≌△EBD
∴DE=AC．
∴AC=CE，即兩條線段長度相等．
分析：（1）∠CBD就是旋轉(zhuǎn)角，據(jù)此即可求解；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即可證得∠CAD=∠CDA=30°，根據(jù)等角對等邊即可證得；
（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證得△ABC≌△EBD，即可證得．
點(diǎn)評：本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，在旋轉(zhuǎn)過程中要注意旋轉(zhuǎn)角的確定，證線段相等的問題轉(zhuǎn)化為證明三角形全等的問題．