Question

已知等邊三角形ABC邊長為2，D、E分別為AC、BC的中點，則下列四個結論：
①DE=1；②AB邊上的高為；③tan∠CDE=；④△CDE的面積與四邊形ABED面積之比為1：4．
其中正確結論的個數(shù)是

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

C
分析：先根據(jù)題意，畫出圖形，利用三角形中位線定理，可得DE=1，判斷①正確；
作AB邊的高CF，利用三角函數(shù)求出CF等于，判斷②正確；
先由中位線定理得出DE∥BC，∠CDE=∠A=60°，由tan60°=判斷③正確；
由DE∥AB，可得△CDE∽△CAB，且相似比等于1：2，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方得出△CDE的面積與△CAB面積之比為1：4，進而求出△CDE的面積與四邊形ABED面積之比為1：3，判斷④錯誤．
解答：解：∵D、E分別為AC、BC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE=AB=1，故①正確；
作AB邊的高CF，則∠AFC=90°，CF=AC×sinA=2×=，故②正確；
∵D、E分別為AC、BC的中點，∴DE∥AB，∴∠CDE=∠A=60°，∴tan∠CDE=tan60°=，故③正確；
∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴S_△CDE：S_△CAB=DE²：AB²=1：4，∴S_△CDE：S_{四邊形ABED}=1：3，故④錯誤．
故選C．
點評：本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，用到的知識點：
三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半；
相似三角形的判定：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊，所得三角形與原三角形相似；
相似三角形的面積比等于相似比比的平方．