Question

20．菱形ABCD的邊長為4，∠ABC=120°，對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M是AD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)N在對角線上，則以線段OM為腰的等腰三角形MON的面積是1或$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先畫出圖形以線段OM為腰的等腰三角形MON有5種可能，其中${S}_{△OM{N}_{3}}$=${S}_{△OM{N}_{4}}$=${S}_{△OM{N}_{5}}$，${S}_{△OM{N}_{1}}$=${S}_{△OM{N}_{2}}$，然后分別計(jì)算即可解決問題．

解答 解：點(diǎn)N在對角線上，以線段OM為腰的等腰三角形MON，點(diǎn)5有中種可能，如圖所示．
∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=120°，
∴AB=AD=BC=CD=4，AO=OC，BO=OD，AC⊥DB，∠ABD=∠DBC=60°，
∴△ABD，△BDC都是等邊三角形，
∵AM=MD，
∴${S}_{△OM{N}_{3}}$=${S}_{△OM{N}_{4}}$=${S}_{△OM{N}_{5}}$=$\frac{1}{4}$S_△ABD=$\frac{1}{4}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×4²=$\sqrt{3}$，
∵OM=ON₁=ON₂，
∴${S}_{△OM{N}_{1}}$=${S}_{△OM{N}_{2}}$，
作OE⊥AO垂足為E，∵M(jìn)E∥DO，AM=MD，
∴AE=EO，EM=$\frac{1}{2}$OD=1，
在RT△AOD中，∵AM=MD，∠AOD=90°，
∴OM=ON₁=$\frac{1}{2}$AD=2，
∴${S}_{△OM{N}_{1}}$=${S}_{△OM{N}_{2}}$=$\frac{1}{2}$×2×1=1，
∴以線段OM為腰的等腰三角形MON的面積是1或$\sqrt{3}$．
故答案為1或$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查菱形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是正確畫出圖形，面積有兩種可能，題目有一定的難度．