Question

已知

1

x

+

1

y

+

1

z

=

1

x+y+z

=1，求證：x、y、z中至少有一個為1．

Answer 1

分析：由已知條件

1

x+y+z

=1，得出x+y+z=1，進而得出（x+y+z）（

1

x

+

1

y

+

1

z

）=1，將式子進行變形整理，得出（x+z）（x+y）（y+z）=0，從而得出原命題正確．

解答：證明：∵

1

x+y+z

=1
∴x+y+z=1
∵

1

x

+

1

y

+

1

z

=1
∴（x+y+z）（

1

x

+

1

y

+

1

z

）=1
∴（x+y+z）（yz+zx+xy）-xyz=0
∴（x+y+z）[y（x+z）+zx（x+y+z）]-xyz=0
∴（x+y+z）y（x+z）+zx（x+z）=0
∴（x+z）（xy+y²+yz+xz）=0
∴（x+z）（x+y）（y+z）=0
∴（1-y）（1-z）（1-x）=0
∴x，y，z 中至少有一個等于1．

點評：此題主要考查了分式的等式證明，由已知得出x+y+z=1，進而得出（1-y）（1-z）（1-x）=0從而解決問題．