如圖,二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象交x軸于A、D兩點,并經(jīng)過B點,已知A點坐標(biāo)是(2,0),B點的坐標(biāo)是(8,6).
(1)求二次函數(shù)的解析式.
(2)求函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)及D點的坐標(biāo).
(3)該二次函數(shù)的對稱軸交x軸于C點.連接BC,并延長BC交拋物線于E點,連接BD,DE,求△BDE的面積.
(4)拋物線上有一個動點P,與A,D兩點構(gòu)成△ADP,是否存在S△ADP=S△BCD?若存在,請求出P點的坐標(biāo);若不存在.請說明理由.
【考點】二次函數(shù)綜合題.
【專題】幾何綜合題;壓軸題.
【分析】(1)利用待定系數(shù)法求出b,c即可求出二次函數(shù)解析式,
(2)把二次函數(shù)式轉(zhuǎn)化可直接求出頂點坐標(biāo),由A對稱關(guān)系可求出點D的坐標(biāo).
(3)由待定系數(shù)法可求出BC所在的直線解析式,與拋物線組成方程求出點E的坐標(biāo),利用△BDE的面積=△CDB的面積+△CDE的面積求出△BDE的面積.
(4)設(shè)點P到x軸的距離為h,由S△ADP=
S△BCD求出h的值,根據(jù)h的正,負(fù)值求出點P的橫坐標(biāo)即可求出點P的坐標(biāo).
【解答】解:(1)∵二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象過A(2,0),B(8,6)
∴,解得
∴二次函數(shù)解析式為:y=
x2﹣4x+6,
(2)由y=x2﹣4x+6,得y=
(x﹣4)2﹣2,
∴函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為(4,﹣2),
∵點A,D是y=x2+bx+c與x軸的兩個交點,
又∵點A(2,0),對稱軸為x=4,
∴點D的坐標(biāo)為(6,0).
(3)∵二次函數(shù)的對稱軸交x軸于C點.
∴C點的坐標(biāo)為(4,0)
∵B(8,6),
設(shè)BC所在的直線解析式為y=kx+b′,
∴,
解得,
∴BC所在的直線解析式為y=x﹣6,
∵E點是y=x﹣6與y=
x2﹣4x+6的交點,
∴x﹣6=
x2﹣4x+6
解得x1=3,x2=8(舍去),
當(dāng)x=3時,y=﹣,
∴E(3,﹣),
∴△BDE的面積=△CDB的面積+△CDE的面積=×2×6+
×2×
=7.5.
(4)存在,
設(shè)點P到x軸的距離為h,
∵S△BCD=×2×6=6,S△ADP=
×4×h=2h
∵S△ADP=S△BCD
∴2h=6×,解得h=
,
當(dāng)P在x軸上方時,
=
x2﹣4x+6,解得x1=4+
,x2=4﹣
,
當(dāng)P在x軸下方時,
﹣=
x2﹣4x+6,解得x1=3,x2=5,
∴P1(4+,
),P2(4﹣
,
),P3(3,﹣
),P4(5,﹣
).
【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題,解題的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)的方法求出函數(shù)解析式以及三角形面積的轉(zhuǎn)化.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖,AB是半圓的直徑,圖1中,點C在半圓外,圖2中,點C在半圓內(nèi),請僅用無刻度的直尺要求畫圖(保留作圖痕跡,不寫作法).
(1)在圖1中,畫出△ABC的三條高的交點;
(2)在圖2中,畫出△ABC中AB邊上的高,簡要說說你的作圖依據(jù).
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