Question

如圖，二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象交x軸于A、D兩點(diǎn)，并經(jīng)過B點(diǎn)，已知A點(diǎn)坐標(biāo)是（2，0），B點(diǎn)的坐標(biāo)是（8，6）．

（1）求二次函數(shù)的解析式．

（2）求函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)及D點(diǎn)的坐標(biāo)．

（3）該二次函數(shù)的對稱軸交x軸于C點(diǎn)．連接BC，并延長BC交拋物線于E點(diǎn)，連接BD，DE，求△BDE的面積．

（4）拋物線上有一個(gè)動點(diǎn)P，與A，D兩點(diǎn)構(gòu)成△ADP，是否存在S_△ADP=S_△BCD？若存在，請求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在．請說明理由．

Answer 1

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．

【專題】幾何綜合題；壓軸題．

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出b，c即可求出二次函數(shù)解析式，

（2）把二次函數(shù)式轉(zhuǎn)化可直接求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，由A對稱關(guān)系可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

（3）由待定系數(shù)法可求出BC所在的直線解析式，與拋物線組成方程求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，利用△BDE的面積=△CDB的面積+△CDE的面積求出△BDE的面積．

（4）設(shè)點(diǎn)P到x軸的距離為h，由S_△ADP=S_△BCD求出h的值，根據(jù)h的正，負(fù)值求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象過A（2，0），B（8，6）

∴，解得

∴二次函數(shù)解析式為：y=x²﹣4x+6，

（2）由y=x²﹣4x+6，得y=（x﹣4）²﹣2，

∴函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，﹣2），

∵點(diǎn)A，D是y=x²+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，

又∵點(diǎn)A（2，0），對稱軸為x=4，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6，0）．

（3）∵二次函數(shù)的對稱軸交x軸于C點(diǎn)．

∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0）

∵B（8，6），

設(shè)BC所在的直線解析式為y=kx+b′，

∴，

解得，

∴BC所在的直線解析式為y=x﹣6，

∵E點(diǎn)是y=x﹣6與y=x²﹣4x+6的交點(diǎn)，

∴x﹣6=x²﹣4x+6

解得x₁=3，x₂=8（舍去），

當(dāng)x=3時(shí)，y=﹣，

∴E（3，﹣），

∴△BDE的面積=△CDB的面積+△CDE的面積=×2×6+×2×=7.5．

（4）存在，

設(shè)點(diǎn)P到x軸的距離為h，

∵S_△BCD=×2×6=6，S_△ADP=×4×h=2h

∵S_△ADP=S_△BCD

∴2h=6×，解得h=，

當(dāng)P在x軸上方時(shí)，

=x²﹣4x+6，解得x₁=4+，x₂=4﹣，

當(dāng)P在x軸下方時(shí)，

﹣=x²﹣4x+6，解得x₁=3，x₂=5，

∴P₁（4+，），P₂（4﹣，），P₃（3，﹣），P₄（5，﹣）．

【點(diǎn)評】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，解題的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)的方法求出函數(shù)解析式以及三角形面積的轉(zhuǎn)化．