Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AD的延長線與BC的延長線相交于點E，DC=DE．
（1）求證：∠A=∠AEB；
（2）如果DC⊥OE，求證：△ABE是等邊三角形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，

∴∠A=∠DCE，

∵DC=DE，

∴∠DCE=∠DEC，

∴∠A=∠AEB

（2）證明：∵DC⊥OE，

∴DF=CF，

∴OE是CD的垂直平分線，

∴ED=EC，又DE=DC，

∴△DEC為等邊三角形，

∴∠AEB=60°，又∠A=∠AEB，

∴△ABE是等邊三角形．

【解析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠A=∠DCE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠DCE=∠DEC，等量代換證明結(jié)論；（2）根據(jù)垂徑定理得到OE是CD的垂直平分線，根據(jù)題意證明△DEC為等邊三角形，證明結(jié)論．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解垂徑定理的相關(guān)知識，掌握垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧，以及對圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)的理解，了解把圓分成n(n≥3):1、依次連結(jié)各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正n邊形2、經(jīng)過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形．