Question

△ABC中，∠A=∠B=30°，AB=2，把△ABC放在平面直角坐標(biāo)系中，使AB的中點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)O（如圖），△ABC可以繞點(diǎn)O作任意角度的旋轉(zhuǎn)．
（1）當(dāng)點(diǎn)B在第一象限，縱坐標(biāo)是時(shí)，求點(diǎn)B的橫坐標(biāo)；
（2）如果拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸經(jīng)過點(diǎn)C，請(qǐng)你探究：
①當(dāng)a=，b=-，c=-時(shí)，A，B兩點(diǎn)是否都在這條拋物線上？并說(shuō)明理由；
②設(shè)b=-2am，是否存在這樣的m的值，使A，B兩點(diǎn)不可能同時(shí)在這條拋物線上？若存在，直接寫出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，
∴OB=AB=；
設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是x（x＞0），
則x²+（）²=（）²，
解得x₁=，x₂=-（舍去）；
∵點(diǎn)B在第一象限，
∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是；

（2）①當(dāng)a=，b=-，c=-時(shí)，得y=（*）
y=；
以下分兩種情況討論；
情況1：設(shè)點(diǎn)C在第一象限（如圖），
則點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為，OC=OB×tan30°==1；
由此，可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，），
根據(jù)∠A=30°，OC⊥AB，
過C作X軸的垂線交X軸于N，過點(diǎn)A作垂線交X軸于點(diǎn)M，
則△AOM∽△CON
∴OA：OC=OM：CN=AM：ON=：1，
∵NO=，
∴AM=NO×=，
∴MO=CN×=，
∴點(diǎn)A（-，），
∵A，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，-），
將點(diǎn)A的橫坐標(biāo)代入解析式的右邊，計(jì)算得，
即等于點(diǎn)A的縱坐標(biāo)；
將點(diǎn)B的橫坐標(biāo)代入解析式的右邊，計(jì)算得-，即等于點(diǎn)B的縱坐標(biāo)；
∴在這種情況下，A，B兩點(diǎn)都在拋物線上；
情況2：設(shè)點(diǎn)C在第四象限（如圖），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，-），
點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-，-）；
經(jīng)計(jì)算，A，B兩點(diǎn)都不在這條拋物線上；
②存在，m的值是1或-1．
y=a（x-m）²-am²+c，
因?yàn)檫@條拋物線的對(duì)稱軸經(jīng)過點(diǎn)C，
所以-1≤m≤1；
當(dāng)m=±1時(shí)，點(diǎn)C在x軸上，此時(shí)A，B兩點(diǎn)都在y軸上．
因此當(dāng)m=±1時(shí)，A，B兩點(diǎn)不可能同時(shí)在這條拋物線上．
分析：（1）由于O是AB的中點(diǎn)，則OA=OB=；可設(shè)出點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，結(jié)合B點(diǎn)的縱坐標(biāo)和勾股定理即可求出B點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
（2）①已知了拋物線的解析式，即可得到拋物線的對(duì)稱軸方程，也就得到了C點(diǎn)的橫坐標(biāo)；此時(shí)發(fā)現(xiàn)C點(diǎn)橫坐標(biāo)為正數(shù)，所以分兩種情況討論：
一、點(diǎn)C在第一象限；在Rt△OBC中，根據(jù)OB的長(zhǎng)及∠B的度數(shù)，可求出OC的長(zhǎng)，參照（1）的方法即可求出C點(diǎn)的坐標(biāo)；若分別過A、C作x軸的垂線，通過構(gòu)建的相似三角形即可求出A點(diǎn)的坐標(biāo)，A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即可得到B點(diǎn)的坐標(biāo)；將A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中進(jìn)行驗(yàn)證即可；
二、點(diǎn)D在第四象限；方法同一；
②若b=-2am，則函數(shù)的解析式為：y=ax²-2amx+c=a（x-m）²-am²+c；由此可得C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m；在△ABC旋轉(zhuǎn)的過程中，C點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍在區(qū)間[-1，1]之間，由于當(dāng)m=-1或1時(shí)，C點(diǎn)在x軸上，A、B同時(shí)處在y軸，所以此時(shí)拋物線不可能同時(shí)經(jīng)過A、B兩點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：此題是二次函數(shù)的綜合題型，主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理、圖形的旋轉(zhuǎn)變換等知識(shí)．