Question

19．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O與邊BC，AC分別交于D，E兩點，過點D作DH⊥AC于點H．
（1）判斷DH與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）求證：H為CE的中點；
（3）若BC=10，cosC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，求AE的長．

Answer 1

分析 （1）連結OD、AD，如圖，先利用圓周角定理得到∠ADB=90°，則根據等腰三角形的性質得BD=CD，再證明OD為△ABC的中位線得到OD∥AC，加上DH⊥AC，所以OD⊥DH，然后根據切線的判定定理可判斷DH為⊙O的切線；
（2）連結DE，如圖，有圓內接四邊形的性質得∠DEC=∠B，再證明∠DEC=∠C，然后根據等腰三角形的性質得到CH=EH；
（3）利用余弦的定義，在Rt△ADC中可計算出AC=5$\sqrt{5}$，在Rt△CDH中可計算出CH=$\sqrt{5}$，則CE=2CH=2$\sqrt{5}$，
然后計算AC-CE即可得到AE的長．

解答 （1）解：DH與⊙O相切．理由如下：
連結OD、AD，如圖，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
而AO=BO，
∴OD為△ABC的中位線，
∴OD∥AC，
∵DH⊥AC，
∴OD⊥DH，
∴DH為⊙O的切線；
（2）證明：連結DE，如圖，
∵四邊形ABDE為⊙O的內接四邊形，
∴∠DEC=∠B，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠DEC=∠C，
∵DH⊥CE，
∴CH=EH，即H為CE的中點；
（3）解：在Rt△ADC中，CD=$\frac{1}{2}$BC=5，
∵cosC=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴AC=5$\sqrt{5}$，
在Rt△CDH中，∵cosC=$\frac{CH}{CD}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴CH=$\sqrt{5}$，
∴CE=2CH=2$\sqrt{5}$，
∴AE=AC-CE=5$\sqrt{5}$-2$\sqrt{5}$=3$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了圓的綜合題：熟練掌握圓周角定理、切線的判定定理和等腰三角形的判定與性質；會利用三角函數的定義解直角三角形．