Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=4，BC=5

6

，CD=9．
（1）在BC邊上找一點(diǎn)O，過(guò)O點(diǎn)作OP⊥BC交AD于P，且OP²=AB•DC．求BO的長(zhǎng)；
（2）以BC所在直線(xiàn)為x軸，OP所在直線(xiàn)為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求經(jīng)過(guò)A、O、D三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式，并畫(huà)出引拋物線(xiàn)的草圖；
（3）在（2）中的拋物線(xiàn)上，連接AO、DO，證明：△AOD為直角三角形；過(guò)P點(diǎn)任作一直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于A′（x₁，y₁），D′（x₂，y₂）兩點(diǎn)，連接A′O、B′O，試問(wèn)：△A′O′D′還為直角三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）本題可通過(guò)構(gòu)建相似三角形來(lái)求解，先求出OP的長(zhǎng)，然后過(guò)A作AF∥BC交CD于F，交OP于E，根據(jù)AB、OP、CD的長(zhǎng)可求出DF、PE的長(zhǎng)，然后根據(jù)△APE和△ADF相似可求出AE即BO的長(zhǎng)．
（2）在（1）中求出了BO的長(zhǎng)，即可得出OC的長(zhǎng)，那么A、D的坐標(biāo)就可求得．然后用待定系數(shù)法可求出拋物線(xiàn)的解析式．
（3）①證∠AOD=90°，可連接OA，OD通過(guò)證△AOB∽△ODC來(lái)得出∠AOB=∠ODC，進(jìn)而求得∠AOB+∠DOC=∠ODC+∠DOC=90°，以此來(lái)證得∠AOD=90°．證兩三角形相似時(shí)，可根據(jù)A、D的坐標(biāo)求出AB，OB，OC，CD的長(zhǎng)，然后證他們對(duì)應(yīng)成比例即可．
②方法同①，可設(shè)直線(xiàn)的解析式為y=kx+b（k≠0），求出與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)然后同①．

解答：解：（1）在BC上取一點(diǎn)O，作OP⊥BC交AD于點(diǎn)P．
由OP²=BA•CD=4×9=36，得OP=6（取正），
過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)AE∥BC，交OP于E，交CD于F．則BO=AE=

EP

FD

•AF=

2

5

×5

6

=2

6

．（3分）

（2）根據(jù)題意建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A（-2

6

，4），B（-2

6

，0），
O（0，0），C（3

6

，0），D（3

6

，9），
過(guò)A、O、D三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式y(tǒng)=ax²+bx+c滿(mǎn)足

a•(-2 6 )2+b•(-2 6 )+c=4 a•02+b•0+c=0 a•(3 6 )2+b•(3 6)+c=9

解得

a= 1 6 b=0 c=0

，
∴拋物線(xiàn)的解析式為y=

1

6

x²．

（3）連接OA、OD，在Rt△AOB和Rt△ODC中，
∴

AB

BO

=

4

2 6

=

6

3

，

OC

CD

=

3 6

9

=

6

3

∴

AB

OB

=

OC

CD

，
∴Rt△AOB∽R(shí)t△ODC，
∴∠AOD=180°-90°=90°，
∴△AOD為直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直角梯形的性質(zhì)、二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．