Question

如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，BF交⊙O于G，下面的結論：（1）EC=DF；（2）AE+BF=AB；（3）AE=GF；（4）FG•FB=EC•ED；其中正確的結論是

 

．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：過點O作OM⊥CD于M，根據(jù)題目所給的條件，可得OA：OB=ME：MF，進而得出ME=MF，然后根據(jù)垂徑定理得出DM=CM，推出EM-MD=MF-MC，即ED=CF，然后可得EC=ED+BC=CF+BC=DF，即（1）正確；根據(jù)AE∥OM∥BF，OA=OB，ME=MF，可得AE+BF=2OM≠AB，可得（2）錯誤；連接AD，CG，AG，可證得四邊形AEFG是矩形，然后證明△AED≌△GFC，即可得出AE=GF，即（3）正確；連接BD，GC，證明△GCF∽△DBF，可得FG：FD=CF：FB，然后得出FG：EC=ED：FB，即FG•FB=EC•ED．

解答：解：過點O作OM⊥CD于M，
∵AE⊥EF，OM⊥EF，BF⊥EF，
∴AE∥OM∥BF，
∴OA：OB=ME：MF，
又∵OA=OB，
∴ME=MF，
∵OM過圓心O，OM⊥CD，
∴CM=MD，
∴EM-MD=MF-MC，
即ED=CF，
∴EC=ED+BC=CF+BC=DF，
故（1）正確；
∵AE∥OM∥BF，OA=OB，ME=MF，
∴AE+BF=2OM≠AB，
故（2）錯誤；
連接AD，CG，AG，
∵AB是直徑，
∴∠AGB=90°，
∴四邊形AEFG是矩形，
∴AE=GF，
在△AED和△GFC中，

AE=GF ∠AED=∠GFC DE=CF

，
∴△AED≌△GFC（SAS），
∴AE=GF，
故（3）正確；
連接BD，GC，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADE+∠BDF=90°，
又∠ADE+∠EAD=90°=∠BDF+∠DBF，
∴∠ADE=∠DBF，
∵△AED≌△GFC，
∴ED=CF，
∴∠GCF=∠ADE=∠DBF，
∵EC=FD，
∴△GCF∽△DBF，
∴FG：FD=CF：FB，
∴FG：EC=ED：FB，即FG•FB=EC•ED，
故（4）正確．
綜上所述，正確的有（1）（3）（4）．

點評：本題考查了圓的綜合，解答本題的關鍵是作出輔助線，涉及垂徑定理，相似三角形與全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，此題綜合性較強，難度較大，解題的關鍵是注意數(shù)形結合思想的應用，注意比例的性質(zhì)．