Question

如圖，矩形ABCD中，AB=12，AD=9，E為BC上一點(diǎn)，且BE=4，動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AB方向以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)．連接DF，DE，EF．過(guò)點(diǎn)E作DF的平行線交射線AB于點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（不考慮D、E、F在一條直線上的情況）．
（1）填空：當(dāng)t=

5

3

時(shí)，AF=CE，此時(shí)BH=

20

9

；
（2）當(dāng)△BEF與△BEH相似時(shí)，求t的值；
（3）當(dāng)F在線段AB上時(shí)，設(shè)△DEF的面積為S，△DEF的周長(zhǎng)為C．
①求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
②直接寫(xiě)出C的最小值．

Answer 1

分析：（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理可求得AB的長(zhǎng)，即可得到AD、t的值，從而確定AE的長(zhǎng)，由DE=AE-AD即可得解．
（2）若△DEG與△ACB相似，要分兩種情況：①AG：DE=DH：GE，②AH：EG=DH：DE，根據(jù)這些比例線段即可求得t的值．（需注意的是在求DE的表達(dá)式時(shí)，要分AD＞AE和AD＜AE兩種情況）

解答：解：（1）∵BC=AD=9，BE=4，
∴CE=9-4=5
∵AF=CE
即：3t=5，
∴t=

5

3

，
∵EH∥DF
∴△DAF∽△EBH，
∴

DA

AF

=

EB

BH

即：

9

5

=

4

BH

解得：BH=

20

9

；

當(dāng)t=

5

3

時(shí)，AF=CE，此時(shí)BH=

20

9

；

（2）由EH∥DF得∠AFD=∠BHE，
又∵∠A=∠CBH=90°
∴△EBH∽△DAF，
∴

BH

AF

=

BE

AD

  即

BH

3t

=

4

9

∴BH=

4

3

t     
當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)B的左邊時(shí)，
即t＜4時(shí)，BF=12-3t
此時(shí)，當(dāng)△BEF∽△BHE時(shí)：

BE

BH

=

BF

BE

 即4²=（12-3t）×

4

3

t
解得：t₁=2 
此時(shí)，當(dāng)△BEF∽△BEH時(shí)：有BF=BH，即12-3t=

4

3

t
解得：t₂=

36

13

當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)B的右邊時(shí)，即t＞4時(shí)，BF=3t-12
此時(shí)，當(dāng)△BEF∽△BHE時(shí)：

BE

BH

=

BF

BE

 即4²=（3t-12）×

4

3

t
解得：t₃=2

2

+2

（3）①∵EH∥DF
∴△DFE的面積=△DFH的面積=

1

2

FH•AD=

1

2

×（12-3t+

4

3

t）×9=54-

15

2

t 
②直接寫(xiě)出C的最小值=13+

313

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了勾股定理、軸對(duì)稱的性質(zhì)、平行四邊形及梯形的判定和性質(zhì)、解直角三角形、相似三角形等相關(guān)知識(shí)，綜合性強(qiáng)，是一道難度較大的壓軸題．