Question

如圖，將腰長為

5

的等腰Rt△ABC（∠C是直角）放在平面直角坐標(biāo)系中的第二象限，其中點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)B在拋物線y=ax²+ax-2上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，0）．
（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為

 

，點(diǎn)B的坐標(biāo)為

 

；
（2）拋物線的關(guān)系式為

 

，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為

 

；
（3）將三角板ABC繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，到達(dá)△AB′C′的位置．請判斷點(diǎn)B′、C′是否在（2）中的拋物線上，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）在Rt△AOC中，已知了斜邊CA和直角邊OC的長，利用勾股定理即可求得OA的值，從而得到點(diǎn)A的坐標(biāo)；過B作BE⊥x軸于E，由于△ABC是等腰直角三角形，易證得△BCE≌△CAO，可得BC=OA、BE=OC，由此可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（2）將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數(shù)的值，從而確定該拋物線的解析式．
（3）解決此題首先要求出B′、C′的坐標(biāo)，可仿照（1）的方法求解；過B作BN⊥y軸于N，過B′作B′M⊥y軸于M，可通過證△ABN≌△AB′M，來求得AM、B′M的長，進(jìn)而確定出點(diǎn)B′的坐標(biāo)；C′坐標(biāo)的求法相同，過C′作C′P⊥y軸于P，通過證△AOC≌△APC′，來求得點(diǎn)C′的坐標(biāo)，進(jìn)而可將B′、C′的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中進(jìn)行驗(yàn)證即可．

解答：解：（1）過B作BE⊥x軸于E；
在Rt△AOC中，AC=

5

，OC=1，則OA=2；
故A（0，2）；
由于△ACB是等腰直角三角形，則AC=BC，∠ACB=90°；
∴∠BCE=∠CAO=90°-∠ACO，
∴△BCE≌△CAO，
則CE=OA=2，BE=CO=1，
故B（-3，1）；
∴A（0，2），B（-3，1）．（2分）

（2）由于拋物線經(jīng)過點(diǎn)B（-3，1），則有：
9a-3a-2=1，a=

1

2

；
∴解析式為y=

1

2

x2+

1

2

x-2；（3分）
由于y=

1

2

x2+

1

2

x-2=

1

2

(x+

1

2

)2-

17

8

，
故拋物線的頂點(diǎn)為（-

1

2

，-

17

8

）．（4分）

（3）如圖，過點(diǎn)B′作B′M⊥y軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作BN⊥y軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)C′作CP⊥y軸于點(diǎn)P；
在Rt△AB′M與Rt△BAN中，
∵AB=AB′，∠AB′M=∠BAN=90°-∠B′AM，
∴Rt△AB′M≌Rt△BAN．
∴B′M=AN=1，AM=BN=3，
∴B′（1，-1）；
同理△AC′P≌△CAO，C′P=OA=2，AP=OC=1，
可得點(diǎn)C′（2，1）；
將點(diǎn)B′、C′的坐標(biāo)代入y=

1

2

x2+

1

2

x-2，
可知點(diǎn)B′、C′在拋物線上．（7分）
（事實(shí)上，點(diǎn)P與點(diǎn)N重合）

點(diǎn)評：此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、圖形的旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)意義等知識，難度適中．