Question

已知：如圖，⊙O的直徑AB等于4，以OA為直徑作⊙O₁，BD切⊙O₁于C，交⊙O于D，連接AC、OC．
（1）求tan∠CAO的值；（2）求BD的長．

Answer 1

分析：（1）求tan∠CAO的值，即求

OC

AC

的值，易證得△BOC∽△BCA，則

OC

AC

=

BC

AB

；關鍵是求出BC的長，由切割線定理得BC²=BO•BA，由此可求得BC的長，即可得解．
（2）求BD的長，可過O作弦BD的垂線，設垂足為M；連接O₁C，則△BOM∽△BO₁C，可得BO：BO₁=BM：BC，由此可求得BM的長，進而可求出BD的長．

解答：解：（1）∵BC切⊙O₁于C，
∴BC²=BO•BA=2•4=8，即BC=2

2

；
由弦切角定理，得∠BCO=∠BAC；
又∵∠CBO=∠ABC，
∴△BOC∽△BCA；
∴

OC

AC

=

BC

AB

=

2 2

4

=

2

2

；
Rt△AOC中，tan∠CAO=

OC

AC

=

2

2

．

（2）連接O₁C，過O作OM⊥BD于M，則BD=2BM；
∵BD是⊙O₁的切線，
∴O₁C⊥BD；
∴OM∥O₁C；
∴

BO

BO1

=

BM

BC

，
∴BM=

BO•BC

BO1

=

4 2

3

；
∴BD=2BM=

8 2

3

．

點評：綜合考查圓周角定理、切線的性質(zhì)、切割線定理以及相似三角形的判定和性質(zhì)．