Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD為⊙O的直徑，AD=6，則DC=　　．

Answer 1

考點：

圓周角定理；含30度角的直角三角形；勾股定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系．

分析：

根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得∠BAD=∠BCD=90°，然后求出∠CAD=30°，利用同弧所對的圓周角相等求出∠CBD=∠CAD=30°，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)求出∠BDC=60°再根據(jù)等弦所對的圓周角相等求出∠ADB=∠ADC，從而求出∠ADB=30°，解直角三角形求出BD，再根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半解答即可．

解答：

解：∵BD為⊙O的直徑，

∴∠BAD=∠BCD=90°，

∵∠BAC=120°，

∴∠CAD=120°﹣90°=30°，

∴∠CBD=∠CAD=30°，

又∵∠BAC=120°，

∴∠BDC=180°﹣∠BAC=180°﹣120°=60°，

∵AB=AC，

∴∠ADB=∠ADC，

∴∠ADB=∠BDC=×60°=30°，

∵AD=6，

∴在Rt△ABD中，BD=AD÷cos60°=6÷=4，

在Rt△BCD中，DC=BD=×4=2．

故答案為：2．

點評：

本題考查了圓周角定理，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，以及圓的相關(guān)性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．