Question

如圖，已知拋物線C₁：的頂點為P，與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左邊），點B的橫坐標是1．

1.求P點坐標及a的值；

2.如圖（1），

拋物線C₂與拋物線C₁關(guān)于x軸對稱，將拋物線C₂向右平移，平移后的拋物線記為C₃，C₃的頂點為M，當點P、M關(guān)于點B成中心對稱時，求C₃的解析式；

3.如圖（2），

點Q是x軸正半軸上一點，將拋物線C₁繞點Q旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線C₄．拋物線C₄的頂點為N，與x軸相交于E、F兩點（點E在點F的左邊），當以點P、N、F為頂點的三角形是直角三角形時，求點Q的坐標．

 

Answer 1

 

1.由拋物線C₁：得

頂點P的為（-2，-5）   ………2分

∵點B（1，0）在拋物線C₁上

∴

       解得，a＝            ………4分

2.連接PM，作PH⊥x軸于H，作MG⊥x軸于G

∵點P、M關(guān)于點B成中心對稱

∴PM過點B，且PB＝MB

∴△PBH≌△MBG

∴MG＝PH＝5，BG＝BH＝3

∴頂點M的坐標為（4，5）                 ………6分

 拋物線C₂由C₁關(guān)于x軸對稱得到，拋物線C₃由C₂平移得到

∴拋物線C₃的表達式為  ………8分

3.∵拋物線C₄由C₁繞點x軸上的點Q旋轉(zhuǎn)180°得到

∴頂點N、P關(guān)于點Q成中心對稱

     由（2）得點N的縱坐標為5

設點N坐標為（m，5）           ………9分

     作PH⊥x軸于H，作NG⊥x軸于G

     作PK⊥NG于K

     ∵旋轉(zhuǎn)中心Q在x軸上

∴EF＝AB＝2BH＝6

     ∴FG＝3，點F坐標為（m+3，0）

     H坐標為（2，0），K坐標為（m，-5），

根據(jù)勾股定理得

     PN²＝NK²+PK²＝m²+4m+104

     PF²＝PH²+HF²＝m²+10m+50

     NF²＝5²+3²＝34              ………10分

①當∠PNF＝90º時，PN²+ NF²＝PF²，解得m＝，∴Q點坐標為（，0） 

②當∠PFN＝90º時，PF²+ NF²＝PN²，解得m＝，∴Q點坐標為（，0）

③∵PN＞NK＝10＞NF，∴∠NPF≠90º

綜上所得，當Q點坐標為（，0）或（，0）時，以點P、N、F為頂點

的三角形是直角三角形．      ………12分

解析:略