如圖,已知拋物線C1:的頂點為P,與x軸相交于A、B兩點(點A在點B的左邊),點B的橫坐標是1.
1.求P點坐標及a的值;
2.如圖(1),
拋物線C2與拋物線C1關(guān)于x軸對稱,將拋物線C2向右平移,平移后的拋物線記為C3,C3的頂點為M,當點P、M關(guān)于點B成中心對稱時,求C3的解析式;
3.如圖(2),
點Q是x軸正半軸上一點,將拋物線C1繞點Q旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線C4.拋物線C4的頂點為N,與x軸相交于E、F兩點(點E在點F的左邊),當以點P、N、F為頂點的三角形是直角三角形時,求點Q的坐標.
1.由拋物線C1:得
頂點P的為(-2,-5) ………2分
∵點B(1,0)在拋物線C1上
∴
解得,a= ………4分
2.連接PM,作PH⊥x軸于H,作MG⊥x軸于G
∵點P、M關(guān)于點B成中心對稱
∴PM過點B,且PB=MB
∴△PBH≌△MBG
∴MG=PH=5,BG=BH=3
∴頂點M的坐標為(4,5) ………6分
拋物線C2由C1關(guān)于x軸對稱得到,拋物線C3由C2平移得到
∴拋物線C3的表達式為 ………8分
3.∵拋物線C4由C1繞點x軸上的點Q旋轉(zhuǎn)180°得到
∴頂點N、P關(guān)于點Q成中心對稱
由(2)得點N的縱坐標為5
設點N坐標為(m,5) ………9分
作PH⊥x軸于H,作NG⊥x軸于G
作PK⊥NG于K
∵旋轉(zhuǎn)中心Q在x軸上
∴EF=AB=2BH=6
∴FG=3,點F坐標為(m+3,0)
H坐標為(2,0),K坐標為(m,-5),
根據(jù)勾股定理得
PN2=NK2+PK2=m2+4m+104
PF2=PH2+HF2=m2+10m+50
NF2=52+32=34 ………10分
①當∠PNF=90º時,PN2+ NF2=PF2,解得m=,∴Q點坐標為(,0)
②當∠PFN=90º時,PF2+ NF2=PN2,解得m=,∴Q點坐標為(,0)
③∵PN>NK=10>NF,∴∠NPF≠90º
綜上所得,當Q點坐標為(,0)或(,0)時,以點P、N、F為頂點
的三角形是直角三角形. ………12分
解析:略
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