Question

某企業(yè)為一商場提供家電配件，從去年1至9月，該配件的原材料價(jià)格一路攀升，每件配件的原材料價(jià)格y₁（元）與月份x（1≤x≤9，且x取整數(shù)）之間的函數(shù)關(guān)系如下表：

月份x	1	2	3	4	5	6	7	8	9
價(jià)格y1（元/件）	56	58	60	62	64	66	68	70	72

隨著國家調(diào)控措施的出臺，原材料價(jià)格的漲勢趨緩，10至12月每件配件的原材料價(jià)格y₂（元）與月份x（10≤x≤12，且x取整數(shù)）之間存在如圖所示的變化趨勢：

（1）請觀察題中的表格，用所學(xué)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)或二次函數(shù)的有關(guān)知識，直接寫出y₁與x之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)如圖所示的變化趨勢，直接寫出y₂與x之間滿足的一次函數(shù)關(guān)系式；

（2）若去年該配件每件的售價(jià)為100元，生產(chǎn)每件配件的人力成本為5元，其它成本3元，該配件在1至9月的銷售量p₁（萬件）與月份x滿足函數(shù)關(guān)系式p₁=0.1x+1.1（1≤x≤9，且x取整數(shù)），10至12月的銷售量p₂（萬件）與月份x滿足函數(shù)關(guān)系式p₂=﹣0.1x+2.9（10≤x≤12，且x取整數(shù)）．求去年哪個(gè)月銷售該配件的利潤最大，并求出這個(gè)最大利潤；

（3）今年1月份，每件配件的原材料價(jià)格均比去年10月上漲8元，人力成本比去年增加1元，其它成本沒有變化，該企業(yè)將每件配件的售價(jià)在去年的基礎(chǔ)上提高a%，與此同時(shí)每月銷售量均在去年12月的基礎(chǔ)上減少8a%．這樣，該月完成了17萬元利潤的任務(wù)，請你計(jì)算出a的值．

Answer 1

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用．

【專題】銷售問題．

【分析】（1）根據(jù)表格可以得到y(tǒng)₁與x之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)圖象可以得到y(tǒng)₂與x之間的一次函數(shù)關(guān)系式；

（2）根據(jù)題意可以分別求出當(dāng)1≤x≤9時(shí)的最大利潤和10≤x≤12時(shí)的利潤的最大值，然后進(jìn)行比較，即可求得去年哪個(gè)月銷售該配件的利潤最大，并求出這個(gè)最大利潤；

（3）根據(jù)題目中的信息可以列出相應(yīng)的關(guān)系式，從而可以求得a的值．

【解答】解：（1）設(shè)y₁=kx+b，

由表格可得，，

解得，

∴y₁=2x+54（1≤x≤9，x取整數(shù)），

設(shè)y₂=ax+b，

由函數(shù)圖象可知，點(diǎn)（10，73），（12，75）在函數(shù)的圖象上，

∴

解得，

∴y₂=x+63（10≤x≤12且x取整數(shù)），

即y₁=2x+54（1≤x≤9，x取整數(shù)），y₂=x+63（10≤x≤12且x取整數(shù)）；

（2）設(shè)去年第x月的利潤為w萬元，

當(dāng)1≤x≤9且x去整數(shù)時(shí)，

w=（100﹣5﹣3﹣y₁）×p₁

=（92﹣2x﹣54）（0.1x+1.1）

=﹣0.2x²+1.6x+41.8

=﹣0.2（x﹣4）²+45

∵1≤x≤9，

∴當(dāng)x=4時(shí)，w取得最大值，此時(shí)w=45；

當(dāng)10≤x≤12且x取整數(shù)，

w=（100﹣5﹣3﹣y₂）p₂

=（92﹣x﹣63）（﹣0.1x+2.9）

=0.1（x﹣29）²，

∵10≤x≤12且x取整數(shù)，

∴當(dāng)x=10時(shí)，w取得最大值，此時(shí)w=36.1；

∵45＞36.1

∴去年4月銷售該配件的利潤最大，最大利潤是45萬元；

（3）由題意可得，

[100（1+a%）﹣81﹣6﹣3]×（﹣0.1×12+2.9）（1﹣8a%）=17

解得a₁=2.5，a₂=0（舍去）

即a的值為2.5．

【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、求函數(shù)的解析式、求函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．