Question

如圖，在平面直角坐標中，點O為坐標原點，直線y=-x+4與x軸交于點A，過點A的拋物線y=ax²+bx與直線y=-x+4交于另一點B，且點B的橫坐標為1．

（1）求a，b的值；
（2）點P是線段AB上一動點（點P不與點A、B重合），過點P作PM∥OB交第一象限內(nèi)的拋物線于點M，過點M作MC⊥x軸于點C，交AB于點N，過點P作PF⊥MC于點F，設PF的長為t，MN的長為d，求d與t之間的函數(shù)關系式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；
（3）在（2）的條件下，當S_△ACN=S_△PMN時，連接ON，點Q在線段BP上，過點Q作QR∥MN交ON于點R，連接MQ、BR，當∠MQR-∠BRN=45°時，求點R的坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題,勾股定理,相似三角形的應用

專題：綜合題,壓軸題

分析：（1）利用已知得出A，B點坐標，進而利用待定系數(shù)法得出a，b的值；
（2）已知MN=d，PF=t，由圖可知MN=MF+FN，不妨將MF和FN用PF代替，即可得到MN與PF的關系：利用45°的直角三角形和平行線性質(zhì)可推得FN=PF=t，∠MPF=∠BOD，再利用tan∠BOD=tan∠MPF，得

BD

OD

=

MF

PF

=3，從而有MF=3PF=3t，從而得出d與t的函數(shù)關系；
（3）過點N作NH⊥QR于點H，由圖象可知R點橫坐標為OC-HN，縱坐標為CN-RH．OC=OA-AC，其中OA已知，利用S_△ACN=S_△PMN求得AC=2t，再將用t表示的M點坐標代入拋物線解析式求得t值，即得AC的值，又由（2）中AC=CN，可知CN，則求得HN和RH的值是關鍵．根據(jù)tan∠HNR=tan∠NOC，可得

RH

HN

=

CN

OC

=

1

3

，設RH=n，HN=3n，勾股定理得出RN的值，再利用已知條件證得△PMQ∽△NBR，建立比例式求得n值，即可得出HN和RH的值，從而得到R的坐標．

解答：解：（1）∵y=-x+4與x軸交于點A，
∴A（4，0），
∵點B的橫坐標為1，且直線y=-x+4經(jīng)過點B，
∴B（1，3），
∵拋物線y=ax²+bx經(jīng)過A（4，0），B（1，3），
∴

16a+4b=0 a+b=3

，
解得：

a=-1 b=4

，
∴a=-1，b=4；

（2）如圖，作BD⊥x軸于點D，延長MP交x軸于點E，
∵B（1，3），A（4，0），
∴OD=1，BD=3，OA=4，
∴AD=3，
∴AD=BD，
∵∠BDA=90°，∠BAD=∠ABD=45°，
∵MC⊥x軸，∴∠ANC=∠BAD=45°，
∴∠PNF=∠ANC=45°，
∵PF⊥MC，
∴∠FPN=∠PNF=45°，
∴NF=PF=t，
∵∠PFM=∠ECM=90°，
∴PF∥EC，
∴∠MPF=∠MEC，
∵ME∥OB，∴∠MEC=∠BOD，
∴∠MPF=∠BOD，
∴tan∠BOD=tan∠MPF，
∴

BD

OD

=

MF

PF

=3，
∴MF=3PF=3t，
∵MN=MF+FN，
∴d=3t+t=4t；

（3）如備用圖，由（2）知，PF=t，MN=4t，
∴S_△PMN=

1

2

MN×PF=

1

2

×4t×t=2t²，
∵∠CAN=∠ANC，
∴CN=AC，
∴S_△ACN=

1

2

AC²，
∵S_△ACN=S_△PMN，
∴

1

2

AC²=2t²，
∴AC=2t，
∴CN=2t，
∴MC=MN+CN=6t，
∴OC=OA-AC=4-2t，
∴M（4-2t，6t），
由（1）知拋物線的解析式為：y=-x²+4x，
將M（4-2t，6t）代入y=-x²+4x得：
-（4-2t）²+4（4-2t）=6t，
解得：t₁=0（舍），t₂=

1

2

，
∴PF=NF=

1

2

，AC=CN=1，OC=3，MF=

3

2

，PN=

2

2

，PM=

10

2

，AN=

2

，
∵AB=3

2

，
∴BN=2

2

，
作NH⊥RQ于點H，
∵QR∥MN，
∴∠MNH=∠RHN=90°，∠RQN=∠QNM=45°，
∴∠MNH=∠NCO，
∴NH∥OC，
∴∠HNR=∠NOC，
∴tan∠HNR=tan∠NOC，
∴

RH

HN

=

CN

OC

=

1

3

，
設RH=n，則HN=3n，
∴RN=

10

n，QN=3

2

n，
∴PQ=QN-PN=3

2

n-

2

2

，
∵ON=

CN2+OC2

=

10

，
OB=

OD2+BD2

=

10

，
∴OB=ON，∴∠OBN=∠BNO，
∵PM∥OB，
∴∠OBN=∠MPB，
∴∠MPB=∠BNO，
∵∠MQR-∠BRN=45°，∠MQR=∠MQP+∠RQN=∠MQP+45°，
∴∠BRN=∠MQP，
∴△PMQ∽△NBR，
∴

PQ

RN

=

PM

BN

，
∴

3 2 n- 2 2

10 n

=

10 2

2 2

，
解得：n=

2

7

，
∴R的橫坐標為：3-

2×3

7

=

15

7

，R的縱坐標為：1-

2

7

=

5

7

，
∴R（

15

7

，

5

7

）．

點評：此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及相似三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理等知識，得出△PMQ∽△NBR，進而得出n的值是解題關鍵．