Question

如圖，直線y=

1

2

x+4交x軸、y軸于A、C兩點(diǎn)，過點(diǎn)C作CB∥0A，連接AB，連接B0交AC于點(diǎn)D，AB=BC．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度，沿線段CB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)P作PQ∥AB交線段AC于點(diǎn)Q，設(shè)△PQD的面積為S，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，連接P0、Q0，當(dāng)t為何值時(shí)，S_△POQ=4S_△PDQ．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題

分析：（1）過點(diǎn)B作BE⊥OA于E，先根據(jù)直線解析式求出點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，然后證明四邊形BEOC是矩形，根據(jù)矩形的對(duì)邊相等求出BE的長度，并設(shè)BC=x，表示出AE、AB，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理列式計(jì)算求出x的值，從而得到點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）先判定△CPQ和△CBA相似，然后根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方求出△CPQ的面積，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例用CA表示出CQ，再根據(jù)△CBD和△AOD相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例用CA表示出CD，再分①點(diǎn)Q在線段CD上時(shí)，表示出DQ，然后根據(jù)等高的三角形的面積的比等于底邊的比列式求解即可；②點(diǎn)Q在線段AD上時(shí)，表示出DQ，然后根據(jù)等高的三角形的面積的比等于底邊的比列式求解即可；
（3）設(shè)PQ與OA相交于點(diǎn)E，表示出CP、AE，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于對(duì)應(yīng)邊的比表示出點(diǎn)Q到OA的距離，再表示出OE，根據(jù)三角形的面積公式列式求出△POQ的面積，然后分①點(diǎn)Q在線段CD上時(shí)，代入數(shù)據(jù)解關(guān)于t的方程即可；②點(diǎn)Q在線段AD上時(shí)，代入數(shù)據(jù)解關(guān)于t的方程即可．

解答：解：如圖，過點(diǎn)B作BE⊥OA于E，
∵直y=

1

2

x+4交x軸、y軸于A、C兩點(diǎn)，
∴A（-8，0），C（0，4），
∵CB∥OA，
∴∠BEO=∠COE=∠CBE=90°，
∴四邊形BEOC是矩形，
∴BE=OC=4，OA=8，OE=BC，
設(shè)BC=x，
則AE=8-x，AB=BC=x，
在Rt△ABE中，AB²=AE²+BE²，
即：x²=（8-x）²+4²，
解得：x=5，
即OE=BC=5，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（-5，4）；

（2）∵PQ∥AB，
∴△CPQ∽△CBA，
∴

S△CPQ

S△CBA

=(

CP

CB

)2=

t2

25

，

CP

CB

=

CQ

CA

=

t

5

，
∴CQ=

t

5

CA，
∵S_△CBA=

1

2

×CB×OC=

1

2

×5×4=10，
∴S_△CPQ=

2

5

t²，
∵CB∥OA，
∴△CBD∽△AOD，
∴

CD

AD

=

CB

OA

=

5

8

，
∴CD=

5

13

CA，
①點(diǎn)Q在線段CD上時(shí)，DQ=CD-CQ=（

5

13

-

t

5

）CA，
根據(jù)等高的三角形的面積的比底邊的比，

S△CPQ

S△PDQ

=

CQ

DQ

，
即

2 5 t2

S△PDQ

=

t 5 CA

( 5 13 - t 5 )CA

，
整理得，S_△PDQ=2（

5

13

-

t

5

）t=-

2

5

t²+

10

13

t，
當(dāng)點(diǎn)D、Q重合時(shí)，

CP

CB

=

CD

CA

，
即

t

5

=

5 13 CA

CA

，
解得t=

25

13

，
此時(shí)，t的取值范圍是0＜t＜

25

13

；
②點(diǎn)Q在線段AD上時(shí)，DQ=CQ-CD=（

t

5

-

5

13

）CA，
根據(jù)等高的三角形的面積的比底邊的比，

S△CPQ

S△PDQ

=

CQ

DQ

，

2 5 t2

S△PDQ

=

t 5 CA

( t 5 - 5 13 )CA

，
整理得，S_△PDQ=2（

t

5

-

5

13

）t=

2

5

t²-

10

13

t，
此時(shí)，t的取值范圍是

25

13

＜t＜5；
綜上所述，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：S=-

2

5

t²+

10

13

t（0＜t＜

25

13

），
S=

2

5

t²-

10

13

t（

25

13

＜t＜5）；


（3）如圖，設(shè)PQ與OA相交于點(diǎn)E，點(diǎn)Q到OA的距離為h，
∵PQ∥AB，
∴AE=BP=5-t，
∴OE=OA-AE=8-（5-t）=3+t，
∵CB∥0A，
∴△CPQ∽△AEQ，
∴

CP

AE

=

t

5-t

=

4-h

h

，
解得h=

4

5

（5-t），
S_△POQ=

1

2

（3+t）×4-

1

2

×（3+t）×

4

5

（5-t）=

2

5

t²+

6

5

t，
①點(diǎn)Q在線段CD上時(shí)，∵S_△POQ=4S_△PDQ，
∴

2

5

t²+

6

5

t=4（-

2

5

t²+

10

13

t），
整理得，2t²=

122

65

t，
解得t=

61

65

，
②點(diǎn)Q在線段AD上時(shí)，∵S_△POQ=4S_△PDQ，
∴

2

5

t²+

6

5

t=4（

2

5

t²-

10

13

t），
整理得，

6

5

t²=

278

65

t，
解得t=

139

39

，
綜上所述，t為

61

65

或

139

39

時(shí)，S_△POQ=4S_△PDQ．

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)一次函數(shù)的綜合考查，主要利用了勾股定理，相似三角形面積的比等于相似比的平方，相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于對(duì)應(yīng)邊的比，等高的三角形的面積的比等于對(duì)應(yīng)邊的比，綜合性較強(qiáng)，難度較大，并且運(yùn)算量比較大，同學(xué)們?cè)谟?jì)算時(shí)要注意認(rèn)真仔細(xì)，并且要分點(diǎn)Q在CD與AD上兩種情況討論．