Question

在平面直角坐標系中，點A的坐標是（1，0），點B的坐標是（0，），點C在坐標平面內(nèi)，以A，B，C為頂點構(gòu)成的三角形是等腰三角形，且底角為30°，則滿足條件的點C的個數(shù)為

1. A.
   3
2. B.
   4
3. C.
   5
4. D.
   6

Answer 1

D
分析：本題應(yīng)該分幾種情況討論，已知的邊AB可能是底邊，也可能是腰．當AB是底邊時，則點C可能位于AB的兩側(cè)，就有兩個滿足條件的三角形；當AB是腰時再分點A是頂角頂點或點B是頂角頂點，兩種情況討論．
解答：解：（1）當AB是底邊時，則點C可能位于AB的兩側(cè)，就有兩個滿足條件的三角形，
（2）∵點A的坐標是（1，0），點B的坐標是（0，），
∴tan∠ABO===，
∴∠ABO=30°，∠OAB=60°，
①若AB=AC，點C在y軸上，則點C可以為（0，-）；
若AB=AC，點C在x軸上，則點C為（3，0）；
②過點A作x軸的垂線，如圖1：
AB=BC，則C（1，2）；
③過點A作∠OAB的角平分線，過點B作BC∥OA交AC于點C，
則C（-2，）；
④如圖3，作AB的垂直平分線，
若∠ABC=30°，則點C在y軸上，
∴點C₅（0，）；
若∠CAB=30°，
則CA⊥x軸，
∴點C₆（1，）；
∴點C為（0，-），（3，0），（1，2），（-2，2），（0，），（1，）．
故選D．
點評：本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)及坐標與圖形的性質(zhì)；正確地進行分類，要考慮到所有的可能情況是解題的關(guān)鍵，難度適中．