Question

如圖所示，直線AB、CD相交于點(diǎn)P，點(diǎn)Q、E在AB上，已知：PQ=8，QE=3，sin∠BPC=，O為射線QA上的一動(dòng)點(diǎn)，⊙O的半徑為，開始時(shí)，O點(diǎn)與Q點(diǎn)重合，⊙O沿射線QA方向移動(dòng)．
（1）當(dāng)圓心O運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)E重合時(shí)，判斷此時(shí)⊙O與直線CD的位置關(guān)系，交說(shuō)明你的理由；
（2）設(shè)移動(dòng)后⊙O與直線CD交于點(diǎn)M、N，若△OMN是直角三角形，求圓心O移動(dòng)的距離．

Answer 1

解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CD于點(diǎn)F，
∵PQ=8，QE=3，
∴PE=PQ-QE=8-3=5，
∵sin∠BPC=，
∴EF=PE•sin∠BPC=5×=，
∴此時(shí)⊙O與直線CD相切；

（2）如圖2，當(dāng)O點(diǎn)在P點(diǎn)的右側(cè)時(shí)：過(guò)點(diǎn)O作OG⊥CD于點(diǎn)G，
∵△OMN是直角三角形，OM=ON=，
∴2OG²=OM²，即OG==，
∵sin∠BPC=，
∴OP===．
∴OQ=PQ-OP=8-．
如圖3，當(dāng)點(diǎn)O在點(diǎn)P的左側(cè)時(shí)，同理可得OP=，
∴OQ=PQ+OP=8+
答：圓心O移動(dòng)的距離是8-或8+．

分析：（1）過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CD于點(diǎn)F，求出PE的長(zhǎng)，根據(jù)sin∠BPC=即可求出EF的長(zhǎng)，進(jìn)而可判斷出⊙O與直線CD的位置關(guān)系；
（2）過(guò)點(diǎn)O作OG⊥CD于點(diǎn)G，由勾股定理求出OG的長(zhǎng)，再根據(jù)sin∠BPC=即可求出OP的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系及銳角三角函數(shù)的定義，熟知直線與圓的三種位置關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．