Question

如圖，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D為AB邊上一點．求證：AD²+AE²=DE²．

Answer 1

證明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴∠B=∠BAC=45°，
AC=BC，
CE=CD，
∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD，
即∠1=∠2，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD，
∴∠CAE=∠B=45°，
∴∠EAD=∠EAC+∠CAB=45°+45°=90°，
∴DE²=AE²+AD²．
分析：由于△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，那么∠B=∠BAC=45°，AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=90°，結合等式性質易證∠1=∠2，那么利用SAS可證△ACE≌△BCD，于是可得∠CAE=∠B=45°，易求∠EAD=90°，再利用勾股定理可得DE²=AE²+AD²．
點評：本題考查了全等三角形的判定和性質、等腰直角三角形的性質、勾股定理，解題的關鍵是證明△ACE≌△BCD．